Géométrie et Théorie des Modèles

Année 2014 - 2015

Organisateurs : Antoine Chambert-Loir, Zoé Chatzidakis, Martin Hils, et François Loeser.
Pour recevoir le programme par e-mail, écrivez à : zchatzid_at_dma.ens.fr.
Pour les personnes ne connaissant pas du tout de théorie des modèles, des notes introduisant les notions de base (formules, ensembles définissables, théorème de compacité, etc.) sont disponibles ici. Elles peuvent aussi consulter les premiers chapitres du livre Model Theory and Algebraic Geometry, E. Bouscaren ed., Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1696, Berlin 1998.
Les notes de quelques-uns des exposés sont disponibles.

Vendredi 14 novembre (ENS, salle W). Programme :

11h : Martin Ziegler (U. Freiburg), Model theory of right-angled buildings.
To every right-angled Coxeter G group belongs a unique countable Tits building B(G) with infinite residues. Using a suitable language, we study the first order theory of B(G). It has a nice axiomatization, is omega-stable, equational and has trivial forking. It is not n-ample, when n is the number of generators of G. (Joint work with A. Baudisch and A. Martín Pizarro)

14h15 : Chris Daw (IHES), Degrees of strongly special subvarieties and the André-Oort conjecture.
We give a new proof of the André-Oort conjecture under the generalised Riemann hypothesis. In fact, we generalise the strategy pioneered by Edixhoven, and implemented by Klingler and Yafaev, to all special subvarieties. Thus, we remove ergodic theory from the proof of Klingler, Ullmo and Yafaev and replace it with tools from algebraic geometry. Our key ingredient is a lower bound for the degrees of strongly special subvarieties coming from Prasad's volume formula for S-arithmetic quotients of semisimple groups.

16h : Artem Chernikov (Paris 7), Some applications of model theory to geometric Ramsey theory.
In a series of papers by Alon, Conlon, Fox, Gromov, Naor, Pach, Pinchasi, Radoičić, Sharir, Sudakov, Lafforgue, Suk and others it is demonstrated that families of graphs with the edge relation given by a semialgebraic relation of bounded complexity satisfy much stronger regularity properties than arbitrary graphs, and can be decomposed into very homogeneous semialgebraic pieces modulo a small mistake (for example the incidence relation between points and lines on the real plane, or higher dimensional analogues). We show that in fact the whole theory can be developed for families of graphs whose edge relation is uniformly definable in a structure satisfying a certain model theoretic property called distality, with respect to arbitrary generically stable measures rather than just the counting ones. Moreover, distality characterizes these strong regularity properties. This applies in particular to definable graphs in all o-minimal and weakly o-minimal theories, and in p-adics.
Joint work with Sergei Starchenko.

Vendredi 12 décembre (ENS, salle W). Orateurs prévus (Attention au changement d'horaire) :

9h15 : Pierre Simon (Lyon I), Une caractérisation topologique de la propriété d'indépendance.
Une théorie est NIP si et seulement si certains espaces de types sont des `compacts de Rosenthal' : des objets étudiés en topologie et théorie descriptive des ensembles. Grâce à cette observation, on peut appliquer des résultats de topologie générale pour obtenir de nouveaux (et d'anciens) théorèmes sur les théories NIP. Je parlerai en particulier de conséquences concernant les types invariants.

11h : Guillaume Maurin (UPMC), Intersections singulières de sous-groupes et de sous-variétés.
Motivés par des questions topologiques, nous présentons plusieurs problèmes sur les intersections singulières de sous-groupes algébriques et de sous-variétés dans les tores multiplicatifs. Ces questions sont étroitement liées aux conjectures de Zilber-Pink. L'heuristique sous-jacente est que, dans ces conjectures, la singularité des intersections peut compenser une décrémentation de la codimension des sous-groupes considérés.
Il s'agit d'un travail en commun avec J. Marché.

14 h : Immanuel Halupczok (Leeds), Obtaining bi-Lipschitz stratifications using valued fields.
(Work in progress, together with Yimu Yin)
One tool to describe singularities of (e.g. algebraic or analytic) subsets X of R^n or C^n are stratifications: a partition of X into finitely many “strata” such that any two points x, y in X within the same stratum have the “same type of neighbourhood”. The most classical stratifications are Whitney stratifications, which classify neighbourhoods up to homeomorphism. The strongest known stratifications are Mostowski's bi-Lipschitz stratifications, which classify neighbourhoods up to a bi-Lipschitz map. I will present a new way of obtaining such bi-Lipschitz stratifications, by working in a suitable valued field (a non-standard model of R or C). Up to recently, the existence of bi-Lipschitz stratifications was only known for sub-analytic sets. Our method works for definable sets in arbitrary polyinomially bounded o-minimal expansions of R, i.e. in particular for quasi-analytic sets. (A similar result has also been announced by Valette.)

Vendredi 23 janvier 2015 (ENS, salle W). Programme :

11h : Charles Favre (Polytechnique), Manin-Mumford dynamique pour les automorphismes du plan complexe.
Soit f: A^2 --> A^2 un automorphisme polynomial du plan complexe. Le problème de Manin-Mumford dynamique consiste à décrire les courbes algébriques C contenant une infinité de points périodiques de f.
Dans un travail en commun avec R. Dujardin nous avons montré que lorsque f était dissipative, une telle courbe C n'existait jamais.

14h15 : Bernard Teissier (IMJ-PRG), Anneaux noethériens valués et corps valués.
J'illustrerai, dans le cas des valuations d'Abhyankar, des méthodes d'étude des valuations utilisant la noetherianité des anneaux et conduisant à une preuve de l'uniformisation locale des valuations d'Abhyankar.

16h : Boris Zilber (Oxford), Geometric dualities and model theory.
Geometries can be given in a direct semantic way, say as a complex or real manifold, or more abstractly, by their co-ordinate algebras and schemes. A duality of this kind becomes highly non-trivial in cases of schemes of arithmetic type and for non-commutative co-ordinate algebras. I will discuss these issues from model-theoretic perspective. A detailed analysis will be given to the canonical commutation relation(s) underlying quantum mechanics. Some applications will be presented.

Vendredi 6 mars, ENS salle W. Orateurs :

11h : Alex Wilkie (Manchester), Complex continuations of functions definable in R_{an,exp} with a diophantine application.

14h15 : Pablo Cubides-Kovacsics (Lille I), Definable types in ACVF.
Given a pair of models K\prec L of a first-order theory T, the pair is said to be stable if the following property holds: all types over K which are realized in L are definable. Marker and Steinhorn characterized stable pairs of models of o-minimal theories as pairs K \prec L where K is Dedekind complete in L. In this talk we provide a characterization of stable pairs of algebraically closed valued fields K \prec L. To get a flavor of the topic, different examples will be discussed and a brief introduction to some model-theoretic aspects of stable pairs will be given. This is a joint work with Françoise Delon.

16h : Tobias Kaiser (Passau), Lebesgue measure and integration theory on arbitrary real closed fields
We establish for the category of semialgebraic sets and functions on arbitrary real closed fields a full Lebesgue measure and integration theory such that the main results from the classical setting hold. The construction involves methods from model theory, o-minimal geometry, valuation theory and the theory of ordered abelian groups. We set up the construction in such a way that it is uniquely determined by data that can be formulated completely in terms of the given real closed field. We apply our integration theory to questions on semialgebraic geometry and analysis in the non-standard setting and also to questions on parameterized integrals on the reals.

Vendredi 22 mai, ENS, salle W (Attention au changement de date). Orateurs prévus :

11h : David Bourqui (Rennes), Voisinages formels dans le schéma des arcs
Je décrirai quelques investigations récentes autour du théorème de Drinfeld-Grinberg-Kahzdan sur le voisinage formel d'un arc non singulier. C'est un travail en commun avec Julien Sebag.

14h15 : Arno Fehm (Konstanz), On the existential theory of equicharacteristic henselian valued fields
The first order theory of a henselian valued field of residue characteristic zero is well-understood through the celebrated Ax-Kochen-Ershov principle, which states that it is completely determined by the theory of the residue field and the theory of the value group. For henselian valued fields of positive residue characteristic, no such general principle is known. I will report on joint work with Will Anscombe in which we study (parts of) the theory of equicharacteristic henselian valued fields and prove an Ax-Kochen-Ershov principle for existential (and slightly more general) sentences. I will also discuss applications to the definability of henselian valuation rings and to the existential decidability (Hilbert's tenth problem) of the local field F_q((t)), which was proven by Denef and Schoutens assuming resolution of singularities.

16h : Daniel Palacin (Munster), Around the Canonical Base Property
The canonical base property (CBP) is a property of finite rank theories, which was introduced by Pillay and whose formulation was motivated by results of Campana in complex geometry. The main feature of such a property is that it provides a dichotomy for types of rank one, and in consequence one can reproduce Hrushovski's proof of Mordell-Lang for function fields in characteristic zero with considerable simplifications.
In this talk, I will motivate (via Mordell-Lang) the statement of the CBP and describe some results around the CBP, in particular on definable groups.

Vendredi 12 juin, à Sophie Germain, salle 2015.

10h30 : Pierre Simon (Lyon I), Décomposition de types dans les théories NIP.
La classe des théories NIP -- définie par Shelah dans les années 70 -- contient celles des théories stables et des théories o-minimales. On pense souvent à NIP comme étant une combinaison de stabilité et de o-minimalité. Dans cet exposé, je présenterai des résultats qui tendent à rendre cette intuition explicite. Je montrerai comment on peut décomposer certains types en une partie stable et un quotient ayant des propriétés typiques des ordres linéaires. Le résultat général pour tous les types est encore conjecturel.

14h : Boris Adamczewski (Marseille), Diagonales, congruences “à la Lucas” et indépendance algébrique
Les diagonales de fractions rationnelles forment une classe de fonctions analytiques se situant au confluent de plusieurs grands thèmes : la combinatoire énumérative, la théorie des équations différentielles, l'arithmétique, la géométrie algébrique et l'informatique théorique. Lorsque leurs coefficients sont des nombres rationnels, ces séries ont la propriété remarquable d'être algébriques modulo presque tout nombre premier p. La façon dont leur degré d'algébricité varie en fonction de p est source de nombreuses questions. En particulier, des exemples de diagonales de fractions rationnelles ayant un “grand degré modulo p” peuvent être mis en évidence à l'aide de séries vérifiant certaines congruences introduites par Lucas. J'expliquerai comment ces congruences conduisent à des résultats d'indépendance algébrique pour certaines classes de G-fonctions. Il s'agit de travaux communs avec J. Bell et E. Delaygue.

16h : Silvain Rideau (ENS), Comptage en théorie des groupes et imaginaires p-adiques
Travail en commun avec Ehud Hrushovski et Ben Martin.
Sous certaines hypothèses sur un groupe G, on peut montrer que le nombre de sous-groupes de G d'indice p^n (que l'on note a_n) est fini. Pour étudier la croissance des a_n, on s'intéresse à la série ζ_{p,G}(s) = \sum_n a_n t^n dont la rationalité a été démontrée par Grunewald, Segal et Smith (1988). Leur preuve consiste à réécrire cette somme comme une intégrale p-adique à paramètres et à utiliser un résultat de Denef (1984) sur la rationalité des telles intégrales. On peut aussi démontrer que de tels résultats de rationalité sont uniformes en p.
Le but de cet exposé sera d'expliquer une méthode générale pour démontrer de tels résultats de comptage (uniformes en p) qui permet de retrouver les résultats connus en en simplifiant la preuve et de prouver de nouveaux résultats (par exemple sur le comptage des représentations). Cette méthode générale utilise toujours le résultat de rationalité de Denef et un nouvel ingrédient modèle théorique: l'élimination (uniforme) des imaginaires p-adiques.

Programme des séances passées : 2006-07, 2007-08, 2008-09, 2009-10, 2010-11, 2011-12, 2012-13, 2013-14.
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