## Géométrie et Théorie des Modèles

### Année 2010 - 2011

Organisateurs : Zoé Chatzidakis et François Loeser.
Pour recevoir le programme par e-mail, écrivez à : zoe_at_logique.jussieu.fr.
Pour les personnes ne connaissant pas du tout de théorie des modèles, des notes introduisant les notions de base (formules, ensembles définissables, théorème de compacité, etc.) sont disponibles ici. Elles peuvent aussi consulter les premiers chapitres du livre Model Theory and Algebraic Geometry, E. Bouscaren ed., Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1696, Berlin 1998.
Les notes de quelques-uns des exposés sont disponibles.

Vendredi 15 octobre 2010, ENS, Salle W. Programme :

11h : Jonathan Kirby (U. East Anglia) , Finitely Presented Exponential Fields
An exponential field is a field equipped with a homomorphism from its additive group to its multiplicative group. The main examples are the real and complex fields equipped with their familiar exponential functions. The real exponential field is now well-understood due in large part to Wilkie's proof that it is model complete. The complex exponential field is still very mysterious. In a paper published in 2005, Boris Zilber gave a model-theoretic construction of a well-behaved exponential field which he conjectured is isomorphic to the complex exponential field. Furthermore he gave an axiomatization of it (in an infinitary logic) which is uncountably categorical - has exactly one model in each uncountable cardinality. It follows from the existence of this axiomatization that there must be a good algebraic theory of exponential fields, in particular it must be possible to specify (some) exponential fields by a finite amount of data - a finite presentation. However, Zilber made no attempt to develop such a theory.
In this talk I will outline the main ideas of this algebraic theory of exponential fields, in particular finitely presented extensions of exponential fields, and give some applications. On the number-theoretic side, I will explain a precise theorem which captures the folklore knowledge that Schanuel's conjecture answers all transcendence questions about exponentials and logarithms. On the model-theoretic side, I will give a simpler construction of Zilber's field. Zilber used infinitary methods throughout his construction, but they are needed only at one point. As a corollary I answer a question of Macintyre and show that B is not model-complete. The proof shows that any algebraic theory of exponential varieties must be essentially more complicated than the situation of algebraic varieties. These complications do not arise in the real case (by model completeness) but it is an open question as to whether they arise in the complex case.
Transparents de l'exposé.

14h : Romain Tessera (ENS-Lyon), Une notion de complexité pour les espaces métriques et applications en topologie
Dans un travail commun avec Erik Guentner et Guoliang Yu, nous introduisons une propriété géométrique généralisant la notion --dûe à Gromov-- de dimension asymptotique finie. Nous démontrons d'une part qu'une variété compacte dont le groupe fondamental satisfait cette propriété est stablement rigide, et d'autre part que la classe de groupes possédant cette propriété est remarquablement vaste. En particulier nous démontrons qu'elle contient tout sous-groupe de type fini de GL(n,K) pour K un corps.

16h : David Burguet (ENS-Cachan), Le lemme algébrique de Yomdin-Gromov
Le lemme algébrique de Yomdin-Gromov borne la complexité différentielle d'un ensemble semi-algébrique par sa complexité algébrique. Plus précisément tout ensemble semi-algébrique borné A\subset \mathbb{R}^d peut être reparamétré par des applications \mathcal{C}^r de [0,1]^d dont les dérivées d'ordre inférieur ou égal à r sont bornées par 1 et dont le nombre ne dépend que de r,d, du diamètre et du degré de A. On donnera les idées essentielles de la preuve ainsi que des applications en géométrie et systèmes dynamiques.

Vendredi 19 novembre, à l'ENS, Salle W. Orateurs prévus :

11h : Chloé Perin (Strasbourg), Homogénéité du groupe libre
On montre que les groupes libres de type fini sont homogènes, c'est-à-dire que deux n-uplets ayant le même type sont dans la même orbite du groupe d'automorphismes. En décrivant les éléments des groupes de type fini qui ont le même type (sans constantes) qu'un élément primitif du groupe libre, on montre également que la plupart des groupes fondamentaux des surfaces fermées ne sont pas homogènes. (Travail en commun avec Rizos Sklinos).

14h : Elisabeth Bouscaren (Orsay), Variétés semi-abéliennes sur un corps séparablement clos non parfait: dérivations de Hasse, sous groupes divisibles maximaux, suites exactes, rangs au sens de la théorie des modèles.
Etant donné un corps séparablement clos K , de caractéristique p>0 et de degré d'imperfection fini, nous nous intéressons au foncteur qui associe à une variété semiabélienne G sur K le sous groupe (noté G#) divisible maximal de G(K) (le groupe des points K-rationnels de G). Nous commencerons par présenter le point de vue théorie des modèles: G(K) est un groupe définissable dont G# est un sous groupe infiniment définissable de “Rang” fini, le rang étant entendu ici au sens de la théorie des modèles. Ensuite nous verrons que ce foncteur ne préserve pas toujours les suites exactes et nous expliquerons le rapport entre la préservation de l'exactitude, des questions de descente et les propriétés modèle théoriques de G#, en particulier du point de vue des “Rangs”. Même si c'est le cas de caractéristique p qui a motivé cette étude, nous nous placerons en fait dès le début dans le contexte plus général des corps “différentiellement clos” au sens des dérivations de Hasse. Cela nous permettra de présenter également les versions appropriées des résultats en caractéristique 0. (Travail en commun avec F. Benoist et A. Pillay)

16h : Fabrice Orgogozo (Polytechnique), Ultraproduits de groupes de cohomologie modulo l et majoration uniforme des nombres de Betti de variétés algébriques
A. Grothendieck et ses collaborateurs ont associé à chaque variété algébrique sur un corps algébriquement clos et chaque nombre entier n inversible sur ce corps un Z/n-module de « cohomologie étale modulo n », qui est un substitut algébrique de la cohomologie singulière (à coefficients dans Z/n). Si n est un nombre premier l, sa dimension est finie et est appelée « nombre de Betti modulo l » de la variété. Pour obtenir une théorie cohomologique intéressante à coefficients dans un corps de caractéristique nulle -- étape jugée nécessaire à la démonstration des conjectures de Weil -- ils ont considéré, pour l fixé, la limite projective sur n des groupes de cohomologie modulo l^n ; c'est un Z_l-module de type fini induisant un Q_l-espace vectoriel par tensorisation. Cette construction est maintenant classique et étudiée dans SGA4, 4½ et 5. Dans cet exposé, nous nous intéresserons plutôt à une autre construction, très naturelle pour un(e) théoricien(ne) des modèles : pour chaque ultrafiltre non principal sur l'ensemble des nombres premiers, on considère l'ultraproduit associé des groupes de cohomologie modulo l. Apparaît alors naturellement la question de la finitude (en tant qu'espace vectoriel) de ces nouveaux groupes de cohomologie ; cela revient à l'existence d'une majoration uniforme des nombres de Betti modulo l. Le cas d'une variété projective et lisse a été traité dans un article de I. Tomasic (2004). Nous généraliserons ce résultat au cas des images directes supérieures entre schémas de type fini sur un corps ou bien un anneau de valuation discrète excellent. (Un tel théorème avait été considéré par O. Gabber il y a plusieurs années déjà.) On utilise une méthode maintenant classique en géométrie arithmétique s'appuyant sur des théorèmes de A. J. de Jong (fibration en courbes) et un peu de log-géométrie. Nous essayerons de limiter autant que possible les prérequis.

Vendredi 17 décembre, à l'ENS, Salle W. Programme :

11h : Emmanuel Breuillard (Orsay), Les théorèmes de Hrushovski et leurs versions quantitatives. Exposé annulé et reporté à une date ultérieure.
La notion de sous-groups approximatif, introduite récemment par T. Tao, permet de comprendre les parties finies A d'un groupe dont la taille de l'ensemble des produits AA est beaucoup plus petite que |A|^2. Cette notion et les méthodes combinatoires utilisées pour l'étudier ont été couronnées de succès par le rôle qu'elles jouent dans la théorie spectrale des graphes (graphes expanseurs) d'une part et pour les applications arithmétiques qui en découlent (crible de Bourgain-Gamburd-Sarnak). Récemment, en connection avec la théorie des modèles et la stabilité, Hrushovski s'est intéressé au problème de la classification des groupes approximatifs et a réussi à obtenir plusieurs résultats remarquables dans cette direction. Entre autres, une classification des sous-groupes approximatifs des groupes linéaires, ainsi qu'une version améliorée du fameux théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale. Dans cet exposé je présenterai ces travaux ainsi qu'une autre approche (travail en commun avec Ben Green et Terence Tao) qui permet de retrouver certains de ces résultats et d'en donner des bornes précises, lesquelles sont souvent cruciales pour les applications.

14h : Anand Pillay (Leeds), Around Manin-Mumford and Mordell-Lang
I will discuss relationships between Manin-Mumford and Mordell-Lang over function fields in all characteristics. Of course these are “known theorems” but the subtext is the search for a direct or transparent proof of function field Mordell-Lang in positive characteristic (or at least a proof avoiding the appeal to Zariski geometries).
Anand Pillay was supported by the Marie Curie network MALOA (PITN-GA-2009-238381).

16h : Michel Coste (Rennes I), Diamètre géodésique d'ensembles définis par un petit nombre d'équations et inégalités quadratiques
Les bornes sur des invariants topologiques d'ensembles algébriques réels ou semi-algébriques (en fonction du degré des polynômes définissant ces ensembles, de leur nombre et du nombre de variables) sont habituellement exponentielles en le nombre de variables (Petrovskii, Oleinik, Thom, Milnor,...). C'est aussi le cas pour la borne sur l'invariant métrique qu'est le diamètre géodésique, obtenue par D'Acunto et Kurdyka. Le cas quadratique révèle un comportement différent : A. Barvinok a donné une borne sur la somme des nombres de Betti qui est polynomiale en le nombre de variables. L'exposé vise à établir une borne également polynomiale en le nombre de variables pour le diamètre géodésique dans le cas quadratique. On passera en revue les méthodes de Barvinok (utilisation de la linéarité du gradient) et de D'Acunto et Kurdyka (methode des vallées et crêtes). Travail commun avec Seydou Moussa (Niamey).

Vendredi 11 février 2011, à l'ENS, Salle W. Orateurs :

11h : Charles Favre (Polytechnique), Un théorème de Montel non-archimédien
Le théorème de Montel traduit une propriété de compacité des fonctions holomorphes du plan complexe. Nous expliquerons un analogue de ce résultat dans le cadre des fonctions analytiques sur les espaces de Berkovich.

14h : Ofer Gabber (IHES), Around pseudo-reductive groups

16h : Dugald Macpherson (Leeds), Homogeneous structures, automorphism groups, and free amalgamation
A countably infinite relational structure is homogeneous (in the sense of Fraïssé) if every isomorphism between finite substructures extends to an automorphism. Such structures arise as Fraïssé limits of amalgamation classes of finite structures. I will survey a range of topics on homogeneous structures and their automorphism groups. I will emphasise how restrictions on the amalgamation -- free amalgamation, or monotone free amalgamation -- can give very strong combinatorial information (structural Ramsey theorems) and information about the automorphism groups (simplicity, existence of generic automorphisms or generic sequences of automorphisms in the sense of Baire category, small index property, Bergman property, property FA, extreme amenability).

Dugald Macpherson was supported by the Marie Curie network MALOA (PITN-GA-2009-238381).

14h : Alexandru Buium (New Mexico), Arithmetic jet spaces: an overview.
Arithmetic jet spaces are analogues of arc spaces in which derivation operators are replaced by Fermat quotient operators. The talk is an overview of some of the main concepts, results, applications, and open questions pertaining to this topic.

16h : Jean-Philippe Rolin (Dijon), Théorème de préparation quasianalytique et élimination des quantificateurs
Le “théorème de préparation” de L. van den Dries et P. Speissegger affirme que les fonctions définissables dans les structures o-minimales polynomialement bornées admettent une forme factorisée. Dans le cas des structures engendrées par des algèbres quasianalytiques de fonctions réelles, nous montrons que cette factorisation admet une écriture explicite. Nous en déduisons un théorème d'élimination des quantificateurs dans ce cadre, dans l'esprit du théorème d'élimination démontré par J. Denef et L. van den Dries dans le cadre analytique.

11h : Amaury Thuillier (Lyon I), Sur le type d'homotopie des espaces de Berkovich.
J'expliquerai comment on peut aborder les résultats récents de E. Hrushovski et F. Loeser sur la topologie des variétés algébriques sur un corps non archimédien en reprenant le point de vue de Berkovich, fondé sur des théorèmes de désingularisation.

14h : Elisabeth Bouscaren (Orsay), Théorie des modèles des corps munis d'une dérivation de Hasse
Je commencerai par présenter les résultats basiques de la théorie des modèles des corps “différentiellement clos“ au sens des dérivations de Hasse en toute caractéristique.
Ensuite j'introduirai les notions de D-prolongations et de D-structures sur une variété, pour D une dérivation de Hasse, et expliquerai les liens avec des théorèmes de descente sur le corps des constantes.
Ce contexte nous permettra de “revisiter” avec un point de vue différent certaines des notions que j'avais introduites lors de mon exposé du 19 novembre à ce même séminaire ou qui avaient été évoquées dans l'exposé du 17 décembre de Anand Pillay. Il ne sera pas nécessaire d'avoir suivi l'un ou l'autre de ces exposés précédents pour suivre celui-ci.

16h : Johannes Nicaise (Leuven), Chai's conjecture and Fubini properties of motivic integrals.
Let K be a discretely valued field with perfect residue field k. Let G be a semi-abelian variety over K, i.e., an extension of an abelian K-variety A by a K-torus T. The Néron lft-model of G is the minimal extension of G to a smooth group scheme over the value ring of K. We say that G has semi-abelian reduction if the identity component of the special fiber of the Néron lft-model of G is a semi-abelian k-variety. By Grothendieck's Semi-Stable Reduction Theorem, G acquires semi-abelian reduction over some finite separable extension K' of K. Chai's base change conductor c(G) is a positive rational number that measures the defect of semi-abelian reduction of G over K.
Chai conjectured that c(G)=c(A)+c(T), and he proved this property if k is finite and also if K has characteristic zero. The proof of the finite residue field case uses Fubini's theorem for integrals with respect to the Haar measure on the completion of K. The proof of the case where K has characteristic zero uses completely different methods.
In this talk, we will first give a general introduction to Néron lft-models and the base change conductor. Then we'll show how one can use Loeser and Sebag's motivic integration on rigid varieties to reformulate Chai's conjecture as a Fubini property for motivic integrals, and how one can use Cluckers and Loeser's motivic integration on definable sets to prove this Fubini property if K has characteristic zero. This is joint work with Raf Cluckers and François Loeser.

14h : Alessandro Berarducci (Pise), Topology of definable groups in tame structures
I will survey some results on definable groups in o-minimal structures, some old, some new, emphasizing the interplay between algebra, logic, and topology. In particular I will show how a combination of techniques from model theory and algebraic topology lead to the determination of the definable homeomorphism type of definable abelian groups in dimension not equal to 4 (joint work with E. Baro). If time permits, I will consider the problem of finding a tame definable context, larger than o-minimality, which is suitable for the study of universal covers (work in progress with M. Mamino).
Transparents : version imprimable, version projetée.

16h : Yves de Cornulier (Orsay), Soficité des groupes de Cremona
Le groupe de Cremona Crn(C) est le groupe des transformations birationnelles de Cn. Au contraire des groupes de matrices, on ne sait pas, si n≥2, s'il possède des sous-groupes de type fini non résiduellement finis. Je montrerai une version faible dans cette direction: il est sofique, c'est-à-dire approximable, en un sens convenable, par des groupes finis (notion introduite par M. Gromov et B. Weiss). J'introduirai en détail toutes les notions utilisées.

11h : Tamara Servi (Lisbonne), Quantifier elimination for generalised quasi-analytic algebras of real functions
This is a joint project with Jean-Philippe Rolin, who has already presented a special case of our results in a previous session of this seminar. In my talk I will define the framework we work in, in all its generality: we consider the expansion of the real field by certain algebras of functions having a generalised (divergent) power series as an asymptotic expansion. We show that these structures are o-minimal and polynomially bounded (in fact, all the known examples of o-minimal polynomially bounded expansions of the real field by functions are generated by such kind of algebras). Furthermore, we prove a quantifier elimination result for these structures (in a reasonable language). I will illustrate our methods of proof.

14h : Damian Rössler (Toulouse), About the Tate-Voloch and Mordell-Lang conjecture in positive characteristic
The Tate-Voloch conjecture states that a subvariety of an abelian variety defined over C_p (= the p-adic “complex numbers”) cannot be arbitrarily close to a torsion point, which does not lie on it. This conjecture was proven by Hrushovski and Scanlon when the abelian variety is defined over a finite extension of Q_p. Their proof relies on the dichotomy theorem for the theory of generic difference fields. We shall indicate an algebraic proof of this statement for the prime-to-p torsion points and also explain how this proof can be extended to equal positive characteristic p.
Finally, we shall explain how this last result can be combined with jet space techniques to give an algebraic proof of the Mordell-Lang conjecture in positive characteristic (which is already a theorem of Hrushovski).

16h : Thomas Scanlon (UC Berkeley), Dynamical Mordell-Lang Problems
The dynamical Mordell-Lang conjecture predicts that if f : X \to X is a self-map of an algebraic variety over a field K of characteristic zero, a in X(K) is any point and Y \subseteq X is a closed subvariety, then {n \in N : f^{\circ n}(a) in Y(K)} is a finite union of points and arithmetic progressions. I will report first on some progress towards this conjecture using generalizations of the method of Skolem and Chabauty, but then I will explain how the dynamical Mordell-Lang problems are considerably subtler than the problems about groups which they generalize. Even in this rank one case over number fields, it appears that the Skolem-Chabauty method is not always applicable. Turning to related problems, such as questions on the algebraic relations on the adèlic closure of an orbit or on orbits under higher rank semigroups of operators, while I will report on some positive results, mostly, I will show that intersection sets are much more chaotic.

Programme des séances passées : 2006-07, 2007-08, 2008-09, 2009-10.
Retour à la page principale.