Géométrie et Théorie des Modèles

Année 2009 - 2010


Organisateurs : Zoé Chatzidakis et François Loeser.
Pour recevoir le programme par e-mail, écrivez à : Francois.Loeser_at_ens.fr.
Pour les personnes ne connaissant pas du tout de théorie des modèles, des notes introduisant les notions de base (formules, ensembles définissables, théorème de compacité, etc.) sont disponibles ici. Elles peuvent aussi consulter les premiers chapitres du livre Model Theory and Algebraic Geometry, E. Bouscaren ed., Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1696, Berlin 1998.
Les notes de quelques-uns des exposés sont disponibles.


Vendredi 16 octobre 2009, à Chevaleret, salle 0C8.

Conférenciers : (Attention, changement de programme)

11h : Olivier Le Gal (Chambery), Un résultat de o-minimalité sous des hypothèses génériques
On s'intéresse aux expansions R_f = (R,+,*,<,f) du corps des réels par une fonction C infini f restreinte à un compact. L'objet de cet exposé est de montrer que génériquement, la structure R_f est o-minimale. On exhibera en effet une condition de grande transcendance des développements de Taylor de f, qui permet d'assurer la quasi-analyticité de certaines algèbres engendrées par f. Cette quasi-analyticité est connue impliquer la o-minimalité de R_f. D'autre part, la condition de transcendance utilisée est générique au sens de Whitney.
Ce résultat permet d'obtenir très simplement les corollaires suivants (les deux premiers étant déjà connus):
1. Il existe des structures n'admettant pas la propriété de décomposition analytique.
2. Il existe des structures o-minimales incompatibles (au sens où elles ne sont pas des réductions d'une même structure o-minimale).
3. Il existe des structures o-minimales incompatibles avec les sous-analytiques.

14h : Luc Bélair (UQAM). Théorèmes d'approximation pour les équations aux différences dans les vecteurs de Witt
Je vais parler du fait qu'il y a des analogues du théorème d'approximation de Greenberg pour les équations aux différences/différentielles algébriques dans certains anneaux de valuation discrète « suffisamment henséliens ».

16h : Tuna Altinel (Lyon), Groupes de rang de Morley fini, aspects linéaires.
Bon nombre de questions concernant les groupes ayant des propriétés favorables du point de vue de la théorie des modèles, jouissant d'une certaine “dimensionnalité” locale ou globale, consistent à retrouver, aussi définissablement possible, des propriétés géométriques au sein de ces groupes. Les groupes de rang de Morley fini dont la notion de dimension généralise la dimension de Zariski n'y font pas exception. En effet, le problème central du domaine, à savoir la classification des groupes simples de rang de Morley fini, est motivé par une conjecture qui cherche à reproduire une structure de variété algébrique au sein des groupes simples.
Cette recherche de reconstruction géométrique est fort liée à la question de la linéarité des groupes de rang de Morley fini: quels sont les groupes de rang de Morley fini qui ont une représentation linéaire fidèle, dans quels cas est-ce que cette représentation est obtenue définissablement à partir du groupe?
Des cas particuliers de ces questions auxquels est liée aussi la classification des groupes simples de rang de Morley fini ont été abordées en vue d'une variété d'objectifs par divers mathématiciens: Ali Nesin, Bruno Poizat, Olivier Frécon, John S. Wilson. Dans mon exposé, je parlerai des approches récentes à la linéarité développées dans le contexte des groupes résolubles, et j'aborderai certains aspects géométriques, réminiscents de ceux des groupes linéaires, de certains groupes non résolubles


Vendredi 13 novembre 2009, à Chevaleret (salle 0C2 le matin, 0C8 l'après-midi). Orateurs prévus :

11h, salle 0C2 : Françoise Delon (CNRS - Paris 7) Théories C-minimales
Résumé

14h, salle 0C8 : Bertrand Rémy (Lyon I) Le point de vue de Berkovich sur les immeubles de Bruhat-Tits (avec Amaury Thuillier et Annette Werner)
Soit G un groupe réductif sur un corps local non archimédien k. Au cours des années 60/70, F. Bruhat et J. Tits sont parvenus à une description fine de la structure du groupe G(k) en termes géométriques via l'immeuble de G, objet que l'on peut voir sous bien des aspects comme l'analogue de l'espace symétrique riemannien d'un groupe de Lie réel semi-simple. Dans les années 80, V. Berkovich a développé une approche de la géométrie analytique sur un corps non archimédien permettant d'enrichir la théorie classique de Tate-Raynaud et il a signalé, dès le début, que son point de vue pouvait se combiner naturellement avec la théorie de Bruhat-Tits. Dans cet exposé, je présenterai un travail réalisé en commun avec A. Thuillier et A. Werner dans lequel nous développons et prolongeons les idées de Berkovich, en montrant qu'elles permettent en particulier de définir et d'étudier des compactifications naturelles de l'immeuble de G. Ces compactifications peuvent être obtenues par des procédés généralisant les idées de Satake pour les espaces symétriques.

16h, salle 0C8 : Chetan Balwe (ENS-Ulm) Motivic integration on Artin n-stacks
In this talk, we extend the construction of geometric motivic measure to Artin stacks over k[[t]] where k is a field of characteristic zero. Following a brief review of the category of stacks as a localization of the category of simplicial presheaves (due to Toën and Vezossi) we analyze the structure of truncated jet-spaces of Artin n-stacks over k[[t]] and prove that it is possible to to construct a measure on the Boolean algebra of sets of arcs which are definable in the language of Denef-Pas. The measure takes values in a completion of the Grothendieck ring of Artin stacks (introduced by Toên). The construction, which is entirely analogous to the one due to Denef and Loeser for varieties, also admits a change of variable formula for monomorphisms of definable sets.


Vendredi 11 décembre 2009, à Chevaleret, en salle OC2 le matin, et OC8 l'après-midi. Orateurs prévus :

11h, salle 0C2 : Antoine Ducros (Paris 6), Triangulation des courbes analytiques et théorème de réduction semi-stable.
Dans ses textes fondateurs, Berkovich utilise le théorème de réduction semi-stable (dans sa version de Bosch et Lütkebohmert) pour décrire localement les courbes analytiques ; dans cet exposé nous expliquerons comment l'on peut renverser le procédé, c'est-à-dire commencer par étudier la structure (analytique et topologique) d'une courbe analytique projective sur un corps algébriquement clos au voisinage de chacun de ses points pour en déduire d'abord qu'elle est triangulable (dans un sens que nous préciserons) puis qu'elle possède un modèle semi-stable.
La preuve utilise la théorie des fonctions rationnelles sur les courbes (Riemann-Roch, ainsi qu'un joli lemme de Gabber), la partie facile de la théorie des extensions de corps valués (la ramification modérée) et fait un usage abondant des très bonnes propriétés topologiques des espaces de Berkovich.

14h, salle 0C8 : Alex Wilkie (Manchester) Some semi-local definability theory for holomorphic functions.
We continue our investigation (see [1]) into those properties of complex holomorphic functions that are special to the polynomial bounded o-minimal situation. One result is as follows. Consider a polynomially bounded o-minimal expansion R of the real field and let M be a sufficiently saturated elementary extension of R. Let C(M) (=MxM) denote the complex plane of M, and let u(M) be the set of infinitesimals of C(M). Let n>0. One could consider the ring of germs of M-definable holomorphic functions about the origin in C(M)^n, but more interesting (in view of Zilber's conjecture on the complex exponential field-and I shall explain this remark in the talk) is the ring of semi-germs, meaning the ring of M-definable (WITH parameters) holomorphic functions defined on neighbourhoods of u(M)^n. I shall prove that this a Noetherian ring. The polynomial boundedness of M seems to be crucial here and I do not know whether o-minimality alone is sufficient.

[1] A J Wilkie, 'Some local definability theory for holomorphic functions', Newton proceedings, LMS Lecture Notes 349.
Notes de l'exposé.

16h, salle 0C8 : Johannes Nicaise (Leuven), A proof of the motivic monodromy conjecture for abelian varieties
We formulate a global form of Denef and Loeser's motivic monodromy conjecture, and we prove it for tamely ramified abelian varieties A over a discretely valued field. More precisely, we show that the motivic zeta function of A has a unique pole, which coincides with Chai's base change conductor c(A), and that this pole corresponds to a monodromy eigenvalue on the tame ell-adic cohomology of A. This is joint work with Lars Halvard Halle (Hannover).
Notes de l'exposé.


Vendredi 29 janvier 2010, ENS, Salle Henri Cartan. Orateurs prévus :

11h : Guillaume Rond (Marseille) Approximation des solutions holomorphes d'un système d'équations analytique réelles.
Motivé par des problèmes de géométrie complexe, P. Milman a montré que toute solution formellement holomorphe d'un système d'équations analytique réelles peut être approchée à tout ordre par des solutions holomorphes, i.e. l'équivalent du théorème d'approximation de Artin pour ces systèmes d'équations. Néanmoins sa méthode ne permet pas d'obtenir l'existence d'une fonction d'approximation, i.e. un résultat d'approximation de Artin forte dans ce cadre. Nous allons donner une preuve de l'existence d'une telle fonction d'approximation à l'aide d'ultraproduits et de systèmes de Weierstrass à la Denef et Lipschitz en généralisant le résultat de Milman à des sytèmes un peu plus généraux.

14h : Françoise Point (FRNS - Mons) Anneaux de différence et modules valués
Nous montrerons d'une part, utilisant la théorie des automates finis, la décidabilité et modèle-complétude de la théorie de certains anneaux de différence (des anneaux de suites sur un corps fini) et d'autre part qu'une large classe d'anneaux de Bezout ont une théorie indécidable. Ensuite, nous considérons ces anneaux de différence comme modules sur un anneau de polynômes gauches et nous montrerons des resultats de décidabilité.
Enfin, nous enrichirons ce langage de modules par une valuation et grâce a un résultat d'élimination des quantificateurs nous montrerons notamment que le corps valué des series de Laurent sur un corps de différence de caractéristique positive n'a pas la propriété d'indépendance. Ce sont des travaux communs avec E. Hrushovski et L. Bélair.
Notes de lexposé.

16h : Raf Cluckers (CNRS - Lille) Real subanalytic functions, their logarithms, and Lebesgue integration.
Finding and searching for algebras of real or complex valued functions which are stable under parameterized integration has become a personal passion. In the p-adic, uniformly p-adic, and motivic settings, several such algebras are known (including or not additive characters), We will present joint work with Daniel Miller in which we prove the stability under Lebesgue integration of sums of products of globally subanalytic functions and their logarithms, see arXiv:0911.4373. This relates among other things to periods as presented by Kontsevich and Zagier and builds further on work by Comte, Lion, and Rolin.


Vendredi 5 mars, Journée “Imaginaires et n-champs”, ENS salle W. Orateurs prévus : Gregory Ginot (Paris 6) et Immanuel Halupczok (Münster) le matin pour des exposés d'introduction; David Evans (U. East Anglia) et Bertrand Toën (Montpellier) l'après-midi. La journée commencera sans doute vers 10h30, et se terminera vers 17h30. Les exposés seront en anglais.

Vous pourrez trouver des notes sur les champs sur la page web du Park City Math Institute 2001, celles de Barbara Fantechi étant particulièrement faciles à lire. Je n'ai pas eu le temps de faire des notes sur les imaginaires - voici un lien vers une version préliminaire d'un article qui donne les définitions et résultats de base de théorie des modèles. Les pages 23 - 25 contiennent les définitions des imaginaires, ainsi que plusieurs exemples; c'est un tout petit sous-ensemble de ce que I. Halupczok couvrira. (Pour les définition de acl et de dcl), voir page 15.

Friday 5 March 2010. Special day on Stacks and Imaginaries. ENS, room W. Speakers: introductory talks by Gregory Ginot (Paris 6) and Immanuel Halupczok (Münster) in the morning; more advanced talks by David Evans (U. East Anglia) and Bertrand Toën (Montpellier) in the afternoon. The day will start at 10:30 am, and end around 17:30.

Horaire provisoire - provisional timetable.

10h30: Immi Halupczok (Münster) Introduction to imaginaries and generalized imaginaries.
This is a preparative talk for the talk of David Evans, mainly for people not yet very familiar with model theory. The plan is the following:
       1. Introduce/recall the (model-theoretic) notion of “imaginary elements”
       2. Present imaginary elements from another point of view, which can be nicely generalized.
       3. Define “finite generalized imaginaries” (which will be the topic of David's talk).
During all of this, I will recall some other model theoretic notions, in particular multi-sorted structures.

~11h30: Gregory Ginot (Paris 6) n-stacks and quotient.
This is an introduction to Stacks, namely geometric objects associated to (bad) quotient of a manifold/scheme by a group action such as orbifolds or classifying space of a group.
We will first introduce the notion of Lie groupoids and Morita equivalences between Lie groupoids as a model for (smooth) stacks and then explain stacks using the formalism of categories fibered in groupoids. If time permits we will give some (informal) motivations for higher stacks.

14h: David Evans (U. East Anglia) Generalized imaginaries, and definable groupoids
This is an expository talk on the material in sections 1 and 2 of Ehud Hrushovski's preprint 'Groupoids, imaginaries and internal covers' (ArXiv:math/0603413v2 [math.LO], revised version of 29 July 2009).
I will explain Hrushovski's correspondence between finite generalized imaginaries (for a complete theory T) and definable (in T) concrete groupoids with a single isomorphism class and finite automorphism group. The plan of the talk is:
       1. Introduce definable groupoids;
       2. Say how to go from a concrete definable groupoid to a finite generalized imaginary;
       3. The reverse direction to 2.
       4. Notions of equivalence.

16h: Bertrand Toën (Montpellier) Algebraic n-stacks
Algebraic n-stacks are geometric objects obtained, by definition, by “successive smooth quotients” of schemes. They generalize schemes and appear naturally as solutions to natural “higher” moduli problems that can not be represented by algebraic varieties or schemes (or even algebraic 1-stacks).
The purpose of this talk is to give an introduction to this notion, presenting basic definitions, examples and properties. In a last part, I will try to explain how the theory of algebraic n-stacks can be considered as a certain “localization” (in the sense of ring theory) of the theory of algebraic varieties, by comparing the Grothendieck rings of algebraic n-stacks and of algebraic varieties respectively. The conclusion of this comparison is the principle that “algebraic n-stacks possess good approximations by convergent power series of algebraic varieties”.


Vendredi 9 avril, Journée o-minimale, salle W. Orateurs prévus :

11h : Patrick Speissegger (McMaster) O-minimality and Hilbert's 16th problem
Let F be the family of all polynomial vector fields of degree d in the plane. Hilbert's 16th problem conjectures that there is a finite bound on the number of limit cycles of the vector fields belonging to F. This as yet open problem (if d is at least 2) has a tantalizingly model-theoretic flavor, but no model-theoretic framework has been discovered so far to capture it. On the other hand, Roussarie's finite cyclicity conjecture reduces the problem to a localized (in the parameter space) one. In recent joint work with Kaiser and Rolin, we used o-minimality (a branch of model theory) to establish Roussarie's conjecture in a very special case. We are now extending our approach in the hope of settling a generic case of this conjecture. One of the key ingredients to such an extension is local normalization of quasi-analytic, logarithmic-exponential classes of functions.
Transparents de l'exposé.

14h : Jean-Philippe Rolin (Dijon) Resommation, quasianalyticité et o-minimalité pour les systèmes différentiels
Nous résumons dans cet exposé plusieurs techniques employées pour prouver l'o-minimalité de structures naturellement liées à l'étude de systèmes différentiels analytiques. Nous montrons en particulier comment, dans le cas polynomialement borné, cette approche mène à prouver l'indépendance analytique de certaines séries sommables, grâce à l'analyse de leur phénomène de Stokes.

16h : Olivier Le Gal (Chambéry) Indépendance analytique de séries formelles par des méthodes résurgentes
Cet exposé aborde un aspect différent des propriétés des séries formelles solutions d'équations différentielles analytiques, celui de la résurgence. Après avoir rappelé les bases du calcul différentiel étranger introduit par J. Ecalle, nous montrons comment le résultat d'indépendance analytique introduit dans l'exposé précédent peut être obtenu par des méthodes algébro-différentielles.


Vendredi 28 mai 2010, ENS salle W. Orateurs prévus :

11h : Pierre Simon (Orsay) Stabilité dans les théories NIP (à l'aide de mesures).
Les structures NIP sont, depuis peu, l'objet de beaucoup d'attention en théorie des modèles. Cette classe contient notamment les structures stables, o-minimales et C-minimales (tels les corps algébriquement clos valués). L'idée directrice de leur étude est l'équation NIP = stable + ordre linéaire. Il existe plusieurs approches pour donner un sens à cela. Je m'intéresserai en particulier à celle initiée par Hrushovski et Pillay qui consiste à étudier les mesures de probabilité sur les espaces de types. Celles-ci permettent de lisser la composante ordonnée et de faire apparaître des phénomènes de stabilité. Lorsque ces phénomènes sont triviaux (ce qui arrive par exemple dans les structures o-minimales et les corps p-adiques), on en déduit des résultats de domination d'ensembles définissables (en particulier de groupes) par des objets compacts.

14h: François Lucas (Angers) Autour de la conjecture de Pierce-Birkhoff.
Résumé

16h : Deirdre Haskell (McMaster) Quantifier elimination for theories of valued fields with restricted analytic functions.
The model theory of fields with analytic structure has been studied since the inspirational work of Denef and van den Dries in 1988. Here they studied both the p-adics and the real field with symbols for the functions given by convergent power series which converge on a compact set. The theory is more difficult for an algebraically closed field. In a recent paper, Cluckers and Lipshitz present a uniform treatment of analytic structures on a henselian field. In this talk I will explain the formalism, and describe the results needed to obtain quantifier elimination.


Vendredi 2 juillet 2010, ENS (amphi Rataud).

14h30 : Itaï Ben Yaacov (Lyon I). Quelques propriétés modèle-théoriques des corps valués complets.
Les corps munis d'une valuation réelle, et complets en tant que tels, forment une classe mathématiquement très naturelle, qui n'est pourtant pas élémentaire, c.à.d. non axiomatisable en logique classique de premier ordre (et cela pour plusieurs raisons). Le plus souvent, les théoriciens des modèles étudient à leur place les corps valué dans un groupe abélien ordonné quelconque, non nécessairement complets (mais assez souvent henseliens), qui présentent un vaste et riche domaine de recherche.
Dans cet exposé je vais suivre un chemin différent. Je présenterai les fondements d'une logique dite « continue », à valeurs réelles plutôt que binaires, dans laquelle la classe des corps décrits au début est élémentaire. On y distingue la sous-classe des corps valués complet algébriquement clos, dont la théorie (ACMVF) élimine les quantificateurs (c'est donc la modèle-complétion). Par certains aspect cette approche a des propriétés plus élégantes que l'approche classique (e.g., ACMVF est stable), par d'autres non (e.g., pas de Ax-Kochen-Ershov...)
Je vais insister un peu sur la notion de la définissabilité d'un ensemble en logique continue, qui est un peu plus délicate qu'en logique classique. En particulier, si V est une variété projective définie sur K alors V(K) est définissable dans K . Des résultats généraux relatifs aux théories stables nous permettent de démontrer que l'espace de types au dessus de K d'éléments de V , noté S_V(K) , peut aussi être naturellement identifié avec un ensemble définissable dans K (en analogie avec les résultats de « stricte définissabilité » de l'ensemble des types génériquement stable dans ACVF, de Hrushovski-Loeser). Cet espace de types est d'ailleurs homéomorphe à l'espace analytique, au sens de Berkovich, V^{an} .

16h15 : Yaacov Peterzil (U. Haifa) . O-minimal ingredients in proofs of arithmetic conjectures.
In a ground breaking paper, Pila and Zannier proposed a new proof for the Manin-Mumford conjecture and several other arithmetic conjectures, using work by Pila-Wilkie on rational points of definable sets in o-minimal strctures. Using similar ideas Pila was able to prove several open cases of the André-Oort conjecture.
Besides the result on rational points, these proofs require number theory, o-minimal analysis of certain periodic sets and the definability of certain restricted transcendental fucntions in o-minimal structures. In previous papers these functions were: the restriction of the theta functions to compact sets, the restriction of the complex exponential function and the Weierstrass P-function to certain (non compact) fundamental domain.
In recent joint work with S. Starchenko we show that the restriction of all Riemann Theta functions to the Siegel fundamental domain is definable in the o-minimal structure R_{an,exp}
In this talk I will review the main ingredients of the above arithmetic proofs, discuss the recent work on the Riemann Theta functions and show it might be used in the future to solve other cases of the André Oort conjecture.


Programme des séances passées : 2006-07, 2007-08, 2008-09.
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