Vendredi 11 décembre 2009, à Chevaleret, en salle OC2 le
matin, et OC8 l'après-midi. Orateurs prévus :
11h, salle 0C2 : Antoine
Ducros (Paris 6), Triangulation des courbes analytiques et théorème de réduction
semi-stable.
Dans ses textes fondateurs, Berkovich utilise le théorème de
réduction semi-stable (dans sa version de Bosch et Lütkebohmert) pour
décrire localement les courbes analytiques ; dans cet exposé nous
expliquerons comment l'on peut renverser le procédé, c'est-à-dire commencer
par étudier la structure (analytique et topologique) d'une courbe
analytique projective sur un corps algébriquement clos au voisinage de
chacun de ses points pour en déduire d'abord qu'elle est triangulable (dans
un sens que nous préciserons) puis qu'elle possède un modèle semi-stable.
La preuve utilise la théorie des fonctions rationnelles sur les courbes
(Riemann-Roch, ainsi qu'un joli lemme de Gabber), la partie facile de la
théorie des extensions de corps valués (la ramification modérée) et fait un
usage abondant des très bonnes propriétés topologiques des espaces de
Berkovich.
14h, salle 0C8 : Alex Wilkie
(Manchester) Some semi-local definability theory for holomorphic
functions.
We continue our investigation (see [1]) into those properties of complex
holomorphic functions that are special to the polynomial bounded
o-minimal situation. One result is as follows. Consider a polynomially
bounded o-minimal expansion R of the real field and let M be a sufficiently
saturated elementary extension of R. Let C(M) (=MxM) denote the complex
plane of M, and let u(M) be the set of infinitesimals of C(M).
Let n>0. One could consider the ring of germs of M-definable holomorphic
functions about the origin in C(M)^n, but more interesting (in view of
Zilber's conjecture on the complex exponential field-and I shall explain
this remark in the talk) is the ring of semi-germs, meaning the ring of
M-definable (WITH parameters) holomorphic functions defined on
neighbourhoods of u(M)^n. I shall prove that this a Noetherian ring. The
polynomial boundedness of M seems to be crucial here and I do not know
whether o-minimality alone is sufficient.
[1] A J Wilkie, 'Some local definability theory for holomorphic functions',
Newton proceedings, LMS Lecture Notes 349.
Notes de l'exposé.
16h, salle 0C8 : Johannes
Nicaise (Leuven), A proof of the motivic
monodromy conjecture for abelian varieties
We
formulate a global form of Denef and Loeser's motivic monodromy
conjecture, and we prove it for tamely ramified abelian varieties A over a
discretely valued field. More precisely, we show that the motivic zeta
function of A has a unique pole, which coincides with Chai's base change
conductor c(A), and that this pole corresponds to a monodromy eigenvalue on
the tame ell-adic cohomology of A. This is joint work with Lars Halvard
Halle (Hannover).
Notes de l'exposé.
Vendredi 29 janvier 2010, ENS, Salle Henri Cartan. Orateurs prévus :
11h : Guillaume Rond
(Marseille) Approximation des solutions holomorphes d'un système
d'équations analytique
réelles.
Motivé par des
problèmes de géométrie complexe, P. Milman a
montré que toute solution formellement holomorphe d'un système
d'équations analytique réelles peut être approchée à tout ordre par
des solutions holomorphes, i.e. l'équivalent du théorème
d'approximation de Artin pour ces systèmes d'équations. Néanmoins sa
méthode ne permet pas d'obtenir l'existence d'une fonction
d'approximation, i.e. un résultat d'approximation de Artin forte dans
ce cadre. Nous allons donner une preuve de l'existence d'une telle
fonction d'approximation à l'aide d'ultraproduits et de systèmes de
Weierstrass à la Denef et Lipschitz en généralisant le résultat de
Milman à des sytèmes un peu plus généraux.
14h : Françoise Point (FRNS -
Mons) Anneaux de différence et
modules valués
Nous montrerons d'une part, utilisant la théorie des automates finis, la
décidabilité et modèle-complétude de la théorie de certains anneaux de
différence (des anneaux de suites sur un corps fini) et d'autre part
qu'une large classe d'anneaux de Bezout ont une théorie indécidable.
Ensuite, nous considérons ces anneaux de différence comme modules sur un
anneau de polynômes gauches et nous montrerons des resultats de
décidabilité.
Enfin, nous enrichirons ce langage de modules par une valuation et grâce a
un résultat d'élimination des quantificateurs nous montrerons notamment
que le corps valué des series de Laurent sur un corps de différence de
caractéristique positive n'a pas la propriété d'indépendance.
Ce sont des travaux communs avec E. Hrushovski et L. Bélair.
Notes de lexposé.
16h : Raf Cluckers (CNRS -
Lille) Real subanalytic functions, their logarithms, and Lebesgue
integration.
Finding and searching for algebras of real or complex valued functions
which are stable under parameterized integration has become a personal
passion. In the p-adic, uniformly p-adic, and motivic settings, several
such algebras are known (including or not additive characters),
We will present joint work with Daniel Miller in which we prove the
stability under Lebesgue integration of sums of products of globally
subanalytic functions and their logarithms, see arXiv:0911.4373. This
relates among other things to periods as presented by Kontsevich and Zagier
and builds further on work by Comte, Lion, and Rolin.
Vendredi 5 mars, Journée Imaginaires
et n-champs, ENS salle W. Orateurs prévus : Gregory Ginot
(Paris 6) et Immanuel Halupczok (Münster) le matin pour des
exposés d'introduction; David Evans
(U. East Anglia) et Bertrand Toën (Montpellier)
l'après-midi. La journée commencera sans doute vers
10h30, et se terminera vers 17h30. Les exposés seront en
anglais.
Vous pourrez trouver des notes sur les champs sur la page web
du Park City Math
Institute 2001, celles de Barbara Fantechi étant
particulièrement faciles à lire. Je n'ai pas eu le temps
de faire des notes sur les imaginaires - voici un lien vers une version préliminaire d'un article qui donne les
définitions et résultats de base de théorie des modèles. Les pages 23 - 25
contiennent les définitions des imaginaires, ainsi que plusieurs
exemples; c'est un tout petit sous-ensemble de ce que I. Halupczok couvrira. (Pour les définition de acl et de dcl), voir page
15.
Friday 5 March 2010. Special day on Stacks and Imaginaries. ENS, room
W. Speakers: introductory talks by Gregory Ginot (Paris 6) and Immanuel
Halupczok
(Münster) in the morning; more advanced talks by David Evans
(U. East Anglia) and Bertrand Toën (Montpellier) in the
afternoon. The day will start at 10:30 am, and end around 17:30.
Horaire provisoire - provisional timetable.
10h30: Immi Halupczok (Münster) Introduction to imaginaries and generalized
imaginaries.
This is a preparative talk for the talk of David Evans, mainly for
people not yet very familiar with model theory. The plan is the
following:
1. Introduce/recall the (model-theoretic) notion of imaginary elements
2. Present imaginary elements from another point of view, which can be
nicely generalized.
3. Define finite generalized imaginaries (which will be the topic of
David's talk).
During all of this, I will recall some other model theoretic notions, in
particular multi-sorted structures.
~11h30: Gregory Ginot (Paris 6)
n-stacks and quotient.
This is an introduction to Stacks, namely geometric objects associated to
(bad) quotient of a manifold/scheme by a group action such as orbifolds or
classifying space of a group.
We will first introduce the notion of Lie groupoids and Morita
equivalences between Lie groupoids as a model for (smooth) stacks and then
explain stacks using the formalism of categories fibered in groupoids. If
time permits we will give some (informal) motivations for higher stacks.
14h: David Evans (U. East
Anglia) Generalized imaginaries, and
definable groupoids
This is an expository talk on the material in sections 1 and 2 of Ehud
Hrushovski's preprint
'Groupoids, imaginaries and internal covers' (ArXiv:math/0603413v2
[math.LO], revised version of 29 July 2009).
I will explain Hrushovski's correspondence between finite generalized
imaginaries (for a complete theory T) and definable (in T) concrete
groupoids with a single isomorphism class and finite automorphism group.
The plan of the talk is:
1. Introduce definable groupoids;
2. Say how to go from a concrete definable groupoid to a finite generalized
imaginary;
3. The reverse direction to 2.
4. Notions of equivalence.
16h: Bertrand Toën
(Montpellier) Algebraic
n-stacks
Algebraic n-stacks are geometric objects obtained, by definition,
by successive smooth quotients of schemes.
They generalize schemes and appear naturally as solutions to natural
higher moduli problems that can not be
represented by algebraic varieties or schemes (or even algebraic
1-stacks).
The purpose of this talk is to give an introduction
to this notion, presenting basic definitions, examples and properties. In a
last part, I will try to explain
how the theory of algebraic n-stacks can be considered as a certain
localization (in the sense of ring theory) of the theory of algebraic
varieties,
by comparing the Grothendieck rings of algebraic n-stacks and of algebraic
varieties respectively. The conclusion of this
comparison is the principle that algebraic n-stacks possess good
approximations by convergent power series of algebraic varieties.
Vendredi 9 avril, Journée o-minimale, salle W. Orateurs
prévus :
11h : Patrick Speissegger
(McMaster) O-minimality and Hilbert's 16th
problem
Let F be the family of all polynomial vector fields of degree d
in the plane. Hilbert's 16th problem conjectures that there is a finite
bound on the number of limit cycles of the vector fields belonging to F.
This as yet open problem (if d is at least 2) has a tantalizingly
model-theoretic flavor, but no model-theoretic framework has been discovered
so far to capture it. On the other hand, Roussarie's finite cyclicity
conjecture reduces the problem to a localized (in the parameter space) one.
In recent joint work with Kaiser and Rolin, we used o-minimality (a branch
of model theory) to establish Roussarie's conjecture in a very special case.
We are now extending our approach in the hope of settling a generic case of
this conjecture. One of the key ingredients to such an extension is local
normalization of quasi-analytic, logarithmic-exponential classes of
functions.
Transparents de l'exposé.
14h : Jean-Philippe Rolin
(Dijon) Resommation, quasianalyticité et
o-minimalité pour les systèmes
différentiels
Nous résumons dans cet exposé plusieurs techniques
employées
pour prouver l'o-minimalité de structures naturellement
liées à l'étude
de systèmes différentiels analytiques. Nous montrons en
particulier
comment, dans le cas polynomialement borné, cette approche
mène à prouver
l'indépendance analytique de certaines séries sommables, grâce à l'analyse
de leur phénomène de Stokes.
16h : Olivier Le Gal
(Chambéry) Indépendance
analytique de séries formelles par des méthodes
résurgentes
Cet exposé aborde un aspect différent des propriétés des séries
formelles solutions d'équations différentielles
analytiques, celui de la
résurgence. Après avoir rappelé les bases du
calcul différentiel étranger
introduit par J. Ecalle, nous montrons comment le résultat
d'indépendance
analytique introduit dans l'exposé précédent peut
être obtenu par des
méthodes algébro-différentielles.
Vendredi 28 mai 2010, ENS salle W. Orateurs prévus :
11h : Pierre Simon (Orsay) Stabilité dans les théories NIP (à l'aide
de mesures).
Les structures NIP sont, depuis peu, l'objet de beaucoup d'attention en
théorie des
modèles. Cette classe contient notamment les structures stables,
o-minimales et
C-minimales (tels les corps algébriquement clos
valués). L'idée directrice de leur
étude est l'équation NIP = stable + ordre
linéaire. Il existe plusieurs approches
pour donner un sens à cela. Je m'intéresserai en
particulier à celle initiée par
Hrushovski et Pillay qui consiste à étudier les mesures
de probabilité sur les
espaces de types. Celles-ci permettent de lisser la composante
ordonnée et de faire
apparaître des phénomènes de stabilité. Lorsque
ces phénomènes sont triviaux (ce
qui arrive par exemple dans les structures o-minimales et les corps
p-adiques), on
en déduit des résultats de domination d'ensembles
définissables (en particulier de
groupes) par des objets compacts.
14h: François Lucas
(Angers) Autour de la conjecture de
Pierce-Birkhoff.
Résumé
16h : Deirdre Haskell (McMaster) Quantifier elimination for
theories of valued fields with restricted analytic functions.
The model theory of fields with analytic structure has been studied
since the inspirational work of Denef and van den Dries in 1988. Here
they studied both the p-adics and the real field with symbols for the
functions given by convergent power series which converge on a compact
set. The theory is more difficult for an algebraically closed field. In
a recent paper, Cluckers and Lipshitz present a uniform treatment of
analytic structures on a henselian field. In this talk I will explain
the formalism, and describe the results needed to obtain quantifier
elimination.
Vendredi 2 juillet 2010, ENS (amphi Rataud).
14h30 :
Itaï Ben Yaacov (Lyon I). Quelques propriétés modèle-théoriques des corps valués complets.
Les corps munis d'une valuation réelle, et complets en tant que tels,
forment une classe mathématiquement très naturelle, qui n'est pourtant
pas élémentaire, c.à.d. non axiomatisable en logique classique de
premier ordre (et cela pour plusieurs raisons). Le plus souvent, les
théoriciens des modèles étudient à leur place les corps valué dans un
groupe abélien ordonné quelconque, non nécessairement complets (mais
assez souvent henseliens), qui présentent un vaste et riche domaine de
recherche.
Dans cet exposé je vais suivre un chemin différent. Je présenterai les
fondements d'une logique dite « continue », à valeurs réelles plutôt que
binaires, dans laquelle la classe des corps décrits au début est
élémentaire. On y distingue la sous-classe des corps valués complet
algébriquement clos, dont la théorie (ACMVF) élimine les quantificateurs
(c'est donc la modèle-complétion). Par certains aspect cette approche a
des propriétés plus élégantes que l'approche classique (e.g., ACMVF est
stable), par d'autres non (e.g., pas de Ax-Kochen-Ershov...)
Je vais insister un peu sur la notion de la définissabilité d'un
ensemble en logique continue, qui est un peu plus délicate qu'en logique
classique. En particulier, si V est une variété projective définie
sur K alors V(K) est définissable dans K . Des résultats généraux
relatifs aux théories stables nous permettent de démontrer que l'espace
de types au dessus de K d'éléments de V , noté S_V(K) , peut aussi
être naturellement identifié avec un ensemble définissable dans K (en
analogie avec les résultats de « stricte définissabilité » de l'ensemble
des types génériquement stable dans ACVF, de Hrushovski-Loeser). Cet
espace de types est d'ailleurs homéomorphe à l'espace analytique, au
sens de Berkovich, V^{an} .
16h15 :
Yaacov Peterzil (U. Haifa) . O-minimal ingredients in proofs of arithmetic conjectures.
In a ground breaking paper, Pila and Zannier proposed a new proof for the Manin-Mumford
conjecture and several other arithmetic conjectures, using work by Pila-Wilkie on rational points
of definable sets in o-minimal strctures. Using similar ideas Pila was able to prove several open
cases of the André-Oort conjecture.
Besides the result on rational points, these proofs require number theory,
o-minimal analysis of certain periodic sets and the definability of certain restricted transcendental fucntions
in o-minimal structures. In previous papers these functions were: the restriction of the theta functions to compact sets,
the restriction of the complex exponential function and the Weierstrass
P-function to certain (non compact) fundamental domain.
In recent joint work with S. Starchenko we show that the restriction of all Riemann Theta functions to the Siegel fundamental domain
is definable in the o-minimal structure R_{an,exp}
In this talk I will review the main ingredients of the above arithmetic proofs, discuss the recent work on the Riemann Theta functions
and show it might be used in the future to solve other cases of the André Oort conjecture.
Programme des séances
passées : 2006-07,
2007-08,
2008-09.
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