Géométrie et Théorie des Modèles

Année 2007 - 2008

Vendredi 12 octobre 2007. ENS, amphithéâtre Rataud. Programme :

11h : Angus Macintyre (U. of London, Queen Mary) Definitions and Decisions for Theories Combining Real Exponentiation and Weierstrass Elliptic Functions
I will discuss the fine structure of definitions in first-order theories with primitives for the real exponential and various Weierstrass functions. This is done constructively via 0-minimal embedding (using methods of Wilkie and me, and Gabrielov-Vorobjov) combined with the use of the conjectures of Schanuel and André. In particular, this will provide many examples of decidable theories.

14h : Krzysztof Kurdyka (U. de Savoie) Trajectoires du gradient horizontal des polynômes
(Travail en commun avec Din Si Tiep et Patrice Orro). Soit D une distribution sur R^n de codimesion 1, totalement non-holonôme, du type de Heisenberg. Supposons que pour tout x dans R^n, l'hyperplan D_x est muni d'un produit scalaire g_x, qui définit une métrique sous-riemanniene g. Ainsi à toute fonction lisse f : R^n --> R on peut associer un champs ∇^h f (appelé gradient horizontal de f) qui est le dual de d_xf restreinte à D_x, par rapport à g_x.
On étudie le comportement de trajectoires de ∇^h f lorsque toutes les données sont polynomiales. Contrairement au cas de trajectoires du gradient riemannien (étudié par Lojasiewicz et Thom) les longueurs de ces trajectoires ne sont pas uniformément bornées. Il est possible aussi qu'une trajectoire s'accumule sur "cycle". Toutefois lorsque le polynhttp://www.logique.jussieu.fr/~zoe/GTM/ôme f est générique toute trajectoire bornée possède une limite comme dans le cas riemannien. Nous donnons aussi une version de l'inégalité de Lojasiewicz pour le gradient horizontal.

16h : Tobias Kaiser (U. Regensburg) Complex analysis and o-minimal structures
Given a holomorphic function on a domain of the complex plane we ask for definability in an o-minimal structure. Starting from the Schwarz reflection principle we show an o-minimal version of the Riemann Mapping Theorem: The biholomorphic map from a semianalytic and bounded simply connected domain onto the unit ball is definable in an o-minimal structure, assuming certain irrationability conditions for the angles at singular boundary points.
Closely connected to holomorphic functions are harmonic functions in dimension 2. These are solutions to the PDE given by the Laplace equation. We give an o-minimal version of the Dirichlet problem (boundary value problem for the Laplace operator) and investigate the harmonic measures.

Aknowledgement: This meeting is financially supported by MODNET, MRTN CT-2004-512234.

Vendredi 9 novembre 2007. Attention au changement de salles : le matin salle Jules Ferry, 29 rue d'Ulm, et l'après-midi amphithéâtre Rataud/Galois à l'ENS. Programme :

11h (salle Jules Ferry, 29 rue d'Ulm) : Lucia DiVizio (IMJ) Survol de quelques aspects des équations aux q-différences
Dans cet exposé je vais présenter un survol de quelques résultats sur les équations aux q-différences, en essayant de dégager leurs liens avec d'autres sujets limitrophes. Je voudrais donner une idée de la théorie à la fois du point de vue analytique et galoisien, ainsi que p-adique si le temps le permet.

14h (amphithéâtre Rataud/Galois à l'ENS) : Emmanuel Kowalski (Bordeaux 1) Sommes exponentielles sur les ensembles définissables sur les corps finis
L'exposé présentera d'abord la problématique de l'estimation de sommes exponentielles sur les variétés algébriques sur les corps finis. Après avoir ensuite introduit la notion plus générale d'ensemble définissable sur les corps finis, on montrera comment les méthodes développées par Chatzidakis, van den Dries et Macintyre pour compter le nombre de points d'un tel ensemble peuvent se combiner pour obtenir des estimations de sommes exponentielles portant sur ces ensembles. Finalement, les applications existantes ou potentielles seront présentées ainsi que des questions de nature plus théorique soulevées par la forme des résultats.

16h : Sergei Starchenko (U. Notre Dame, USA) RET(II) over real closed field.
Let R be a real closed field and K=R(\sqrt{-1}) be its algebraic closure. As in the classical (R=Reals, K=Complex numbers) we can identify K with R^2. Since R is an ordered field it has a topology coming from the ordering, hence we can consider K as a topological field. In this talk we will prove that the second part of the Riemann Existence Theorem holds in this setting for R-semialgebraic coverings.
Let S be a finite subset of K and f: X--> K\S a R-semialgebraic finite covering. Then there is a non-singular quasi-projective K-curve Y and a regular morphism g: Y--> K\S such that f and g are R-semialgebraically isomorphic as covering maps.

Vendredi 14 décembre 2007 à l'ENS, salle U/V. Programme :

11h : Martin Bayes (Oxford/Lyon 1) Categoricity of the universal cover of an elliptic curve
(Joint work with Misha Gavrilovich, St. Petersburg University.) An elliptic curve is a 1-dimensional projective algebraic group. The complex points of an elliptic curve over C form a complex torus, the quotient of the complex plane by a lattice.
In line with Zilber's programme on the model theory of complex analytic structures, we consider a first-order structure which captures the algebraic content of this situation. We then aim to give a "categorical" description of this structure, an algebraic characterization which determines the structure uniquely up to isomorphism. We show that this can be done, and that this fact depends crucially on some venerable results on the arithmetic and algebraic geometry of elliptic curves.

14h : Piotr Kowalski (Wroclaw) Lazard's theorem in the differential context.
A theorem of Lazard says that an algebraic group is unipotent if and only if it is isomorphic (as an algebraic variety) to the affine n-space. We discuss versions of this theorem in the case of differential algebraic groups (in the sense of Kolchin).

Séance courte à cause du séminaire Variétés rationnelles.

Cette séance sera partiellement financée par le réseau Européen Marie Curie MRTN CT-2004-512234 (MODNET).

Vendredi 18 janvier 2008 à l'ENS, amphithéâtre Rataud. Orateurs :

11h : Jean-Louis Colliot-Thélène (Orsay) Fibre spéciale des hypersurfaces de petit degré
En caractéristique nulle, pour une famille à un paramètre d'hypersurfaces projectives dont la fibre générique est lisse et satisfait la condition C_1, si une fibre spéciale est à croisements normaux stricts, alors il existe une composante de cette fibre qui est géométriquement intègre (mais une telle composante n'a pas nécéssairement la multiplicité 1 dans la fibre, penser au cas des coniques). Cet énoncé est un cas particulier d'un résultat récent de J. Kollar. Il établit, en caractéristique nulle, la conjecture d'Ax que les corps C_1 sont pseudo-algébriquement clos.
Pour une famille comme ci-dessus mais dont la fibre générique est lisse et satisfait la condition C_2, on peut déduire du résultat de Kollar l'énoncé suivant : si une fibre spéciale est à croisements normaux stricts, alors il existe une composante de cette fibre qui est simultanément géométriquement intègre et de multiplicité 1 dans la fibre.
Cet énoncé n'est pas sans rapport avec le théorème d'Ax et Kochen.

14h : Alexandre Borovik (U. Manchester) Permutation groups of finite Morley rank
(joint work with G. Cherlin) I will discuss generically multiply transitive permutations of groups of finite Morley rank. Many problems in this area remain unsolved even in the classical case of simple algebraic groups over algebraically closed fields. However, the recent progress was quite surprising, mostly due to advancements in classification of simple groups of finite Morley rank.

16h : Yves André (ENS- Ulm) Quelques aspects de l´algèbre aux différences
1) Calcul aux différences et différentielles non commutatives,
2) point de vue galoisien,
3) théorie des pentes.

Vendredi 7 mars 2008 à l'ENS, amphithéâtre Rataud. Orateurs :

11h : Zoé Chatzidakis (Paris 7), Applications de la théorie des modèles aux corps de différence.
Un corps aux différences est un corps avec un automorphisme distingué σ. Ces corps apparaissent d'abord en analyse (équations aux différences, ou aux q-différences), par exemple K=C(t), où σ est l'identité sur C et envoie t sur t+1. Leurs propriétés algébriques ont été étudiées par Ritt dans les années 30, en parallèle avec celles des corps différentiels. Les théoriciens des modèles ont commencé à s'y intéresser au début des années 90, les premières applications (par Hrushovski) apparaissant en 95.
Un corps aux différences existentiellement clos (e.c) est un corps aux différences tel que tout système (fini) d'équations aux différences qui a une solutions dans une extension, a déja une solution dans le corps. Ces corps jouent le rôle de modèles universels : tout corps aux différences se plonge dans un corps de différence existentiellement clos. Leurs invariants élémentaires sont obtenus en décrivant le comportement de σ sur la clôture algébrique du corps premier. Leurs ensembles définissables sont existentiellement définissables, c'est-à-dire, sont des projections de σ-fermés (= définis par des équations aux différences). Pour l'étude des relations possibles entre ensembles définissables, on peut donc se restreindre aux ensembles définis sans quantificateurs.
Dans cet exposé, après avoir introduit quelques concepts de base et résultats généraux, nous expliquerons le résultat probablement le plus important de la théorie des modèles de ces corps, celui qui est à l'origine (parfois de façon indirecte) de toutes les applications. Il s'agit de la

14h : Laurent Moret-Bailly (Rennes I), La non-nullité dans un anneau est-elle diophantienne ?
Une partie d'un anneau commutatif A est «diophantienne» (ou «existentielle positive») si elle est image, par une projection, d'une partie «algébrique» de A^n (définie par des équations polynômes). On considère alors la propriété
(*) «A-{0} est diophantien»
souvent rencontrée, notamment, dans les travaux sur le dixième problème de Hilbert.

On montre que tout anneau intègre noethérien qui n'est pas local hensélien vérifie (*). En revanche, si A est local hensélien (noethérien), la propriété (*) entre en conflit avec les «propriétés d'approximation» (du type Artin-Popescu); en particulier elle n'est pas vérifiée si A est de dimension >0 et excellent.

Référence Algebra and Number Theory, vol. 1, n° 3 (2007), 331-346. Transparents de l'exposé disponibles ici

16h : Olivier Frécon (Poitiers), Isomorphismes abstraits de groupes algébriques sur un corps algébriquement clos.
Considérons un isomorphisme abstrait f entre deux groupes algébriques G et H sur des corps algébriquement clos de caractéristique zéro. Alors les purs groupes G et H sont des groupes de rang de Morley fini, et leur analyse permet de donner des informations sur f. Par exemple, si G est connexe, sans centre, et ne se décompose pas en un produit direct de deux sous-groupes non triviaux, on peut montrer que f est un isomorphisme standard. Autrement dit, f est composé d'un isomorphisme des corps de base et d'un isomorphisme de groupes algébriques. Ce résultat est encore vrai si G est connexe, égal à son sous-groupe dérivé, et ne se décompose pas en un produit central de deux sous-groupes infinis ayant une intersection finie.

Vendredi 4 avril 2008 à l'ENS, amphithéâtre Rataud. Programme (attention au changement d'horaire):

11h 30 : Bruno Poizat (Lyon I/ INALCO) Amalgames de Hrushovski 1. La limite des courbes génériques
Ehud Hrushovski a inventé, en 1989, une construction par amalgames qui a permis de construire de très nombreux exemples et contre-exemples en Théorie des modèles. Dans cette première partie, nous emploierons cette construction pour obtenir un objet géometriquement très naturel, qui est la limite, au sens logique, des courbes planes génériques (c'est-à-dire définies par une équation polynomiale dont les coefficients sont algébriquement indépendants) de degré n lorsque n tend vers l'infini. En d'autre terme, tout énoncé satisfait par cette limite l'est par toute courbe générique de degre n, pour n assez grand.
En caractéristique nulle, cette limite a une interprétation analytique. En effet, on peut semblablement établir l'existence de la limite des polynômes génériques de degré n, et constater qu'elle est réalisée par une série dont les coefficients sont algébriquement indépendants et décroissent rapidement: on voit que la somme de cette série est limite de ses sommes partielles aussi bien au sens logique que fonctionnel !

14h 30 : Martin Hils (Humboldt) Amalgames de Hrushovski 2. Construction d'un mauvais corps en caractéristique 0
Habituellement, la construction de structures de rang fini par amalgames (de Hrushovski) se fait en deux étapes. D'abord, en amalgamant librement, on obtient une structure de rang infini. Ensuite, cette structure est collapsée sur une structure de rang fini. Dans une première partie de l'exposé, nous allons illustrer le collapse en considérant la courbe générique plane.
La partie principale de l'exposé sera consacrée à la construction d'un mauvais corps en caractéristique 0. Un mauvais corps est un corps algébriquement clos K avec un sous-groupe propre infini du groupe multiplicatif U <K^* tel que le rang de Morley de (K,U) soit fini. L'existence de mauvais corps était un problème longtemps ouvert. En 2001, B. Poizat a construit un “mauvais corps de rang infini” (K_ω,U_ω) en caractéristique 0, par un amalgame de Hrushovski (sans collapse). A l'aide de résultats de finitude concernant des intersections de variétés algébriques avec des tores, il est possible de contourner des problèmes d'uniformité présents dans ce contexte.
On peut effectuer le collapse de (K_ω,U_ω) sur un mauvais corps en caractéristique 0. (C'est un travail commun avec A. Baudisch, A. Martin-Pizarro et F. Wagner.)
Transparents de l'exposé.

16h 15 : Daniel Bertrand (Paris 6) Le théorème de Lindemann-Weierstrass fonctionnel (travail commun avec A. Pillay)
Le théorème de Lindemann-Weierstrass concerne les valeurs y = exp(x) de la fonction exponentielle usuelle en des nombres algébriques x. On en étudie une généralisation aux variétés semi-abéliennes G sur un corps de fonctions K, muni d'une dérivation \partial. On donnera d'abord un sens à l'expression y = exp_G(x), en reliant les notions de dérivée logarithmique sur l'extension universelle de G et de connexion de Gauss-Manin sur Lie(G). On démontrera alors que pour x dans Lie G(K), aucune relation algébrique non triviale ne peut relier de telles expressions.

Cette séance est dédiée à Roland Fraïssé, décédé le 30 mars 2008. Cette séance sera partiellement financée par le réseau Européen Marie Curie MRTN CT-2004-512234 (MODNET).

Vendredi 23 mai 2008 à l'ENS, salle W. Orateurs prévus :

11h - 12h30 : Claude Sabbah (Polytechnique), Utilisation de la p-courbure en caractéristique nulle d'après Takuro Mochizuki
Trouver une forme normale formelle pour les systèmes intégrables d'équations différentielles linéaires de plusieurs variables complexes est un préliminaire essentiel à l'analyse asymptotique de ces systèmes. Récemment, Takuro Mochizuki a pu montrer l'existence d'une telle forme normale, au moins lorsque le système est à coefficients algébriques. L'argument consiste à réduire la question en caractéristique finie et à exploiter une propriété, dûe à Yves Laszlo et Christian Pauly, de la p-courbure, notion introduite par Alexandre Grothendieck et développée par Nicholas Katz.

14h - 15h30 : Dugald Macpherson (Leeds), Model theory of finite simple groups
By a theorem of Chatzidakis, van den Dries and Macintyre, definable sets in finite fields have a very good asymptotic behaviour. The conclusion of their theorem is a modification of that of Lang-Weil on the asymptotic behaviour of the number of rational points of an absolutely irreducible variety over a finite field; and the CDM proof uses Lang-Weil, a partial quantifier elimination, and more.
I will discuss an analogue of the CDM theorem, due to Ryten, which says that any family of finite simple groups of fixed Lie type forms an `asymptotic class'. For the Suzuki and Ree groups, this uses the work of Hrushovski on the non-standard Frobenius, and the model theory of algebraically closed fields equipped with a generic automorphism. I will also describe this model-theoretic framework of `asymptotic classes' of finite structures, and the corresponding infinitary notion of `measurable structure'. Any Chevalley group over a pseudofinite field (the group possibly of twisted type) is measurable. I will discuss the beginnings of a theory of measurable groups, analogous to that of groups of finite Morley rank.

16h - 17h30 : Jonathan Pila (Bristol) Rational points on definable sets and the Manin-Mumford conjecture
I will discuss problems and results concerning the distribution of rational points on algebraic and, mainly, certain non-algebraic sets. More specifically, definable sets in o-minimal structures. I will describe a result, joint with Wilkie, that such a set X can have only “few” rational points in a suitable sense, that do not lie on some connected semi-algebraic subset of X of positive dimension. I will describe some further results and conjectures, connections with transcendence theory, and a new proof (with Zannier) of the Manin-Mumford conjecture by combining these ideas with a result of Masser.

Cette séance sera partiellement financée par le réseau Européen Marie Curie MRTN CT-2004-512234 (MODNET).

Vendredi 20 juin 2008 (ENS, amphithéâtre Rataud). Programme:

11h - 12h30 : Boris Zilber (Oxford) Non-commutative Zariski geometries
I will start by explaining how the known non-classical Zariski geometries can be “coordinatised” by noncommutative algebras. Conversely for a wide class of quantum noncommutative algebras a construction of an appropriate geometric object will be presented, which leads to new examples of Zariski geometries not definable in an algebraically closed field. In particular we present a new Zariski geometry based on the C^*-algebra for the quantum harmonic oscillator.
Transparents

14h - 15h30 : Ehud Hrushovski (Hebrew U., Paris 7) Motivic Poisson Summation
We define a motivic `sum over rational points' functional for function fields of curves. It is related to local motivie integration via a Poisson summation formula. This is used to obtain a (poor-man's-) motivic version of some results of Deligne-Kazhdan-Vigneras on the representation ring of division algebras over global fields. Some foundational questions on motivic integration, arising along the way, will be mentioned. Joint work with David Kazhdan.
Transparents

16h - 17h30 : Yan Soibelman (Kansas State U.) Non-commutative geometry over valuation fields
Berkovich approach to rigid analytic geometry is based on the notion of Berkovich spectrum of a Banach ring (the latter is the set of bounded multiplicative semi-norms on the ring).
Its advantage over the traditional approach via maximal spectrum is more transparent in the non-commutative framework where one has very few two-sided ideals. Although the general theory of non-commutative rigid analytic spaces does not exist at present, there are several non-trivial examples. In my talk I am going to discuss some of them, in particular, an example of a quantization of a rigid analytic K3 surface. In the latter case the general ideas of deformation quantization are combined with the ideas of Mirror Symmetry for Calabi-Yau manifolds.

Cette séance est partiellement financée par le réseau Européen Marie Curie MRTN CT-2004-512234 (MODNET).