Géométrie et Théorie des Modèles

Année 2015 - 2016


Organisateurs : Antoine Chambert-Loir, Zoé Chatzidakis, Martin Hils, et François Loeser.
Pour recevoir le programme par e-mail, écrivez à : zchatzid_at_dma.ens.fr.
Pour les personnes ne connaissant pas du tout de théorie des modèles, des notes introduisant les notions de base (formules, ensembles définissables, théorème de compacité, etc.) sont disponibles ici. Elles peuvent aussi consulter les premiers chapitres du livre Model Theory and Algebraic Geometry, E. Bouscaren ed., Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1696, Berlin 1998.
Les notes de quelques-uns des exposés sont disponibles.


Vendredi 6 novembre 2015. Salle 1021 à Sophie Germain. Programme :

11h : Ehud Hrushovski (U. Hébraïque), Nonarchimedean globally valued fields
In a joint research project with Itay Ben Yaacov, we study a class of fields enriched with a global structure tying together their various valuations by a product formula. This is an elementary class in the sense of continuous logic; the field of algebraic functions C(t)^{alg} is a prime example, and the Weil height function on projective space is a key example of a definable map into R. I will describe some of the connections to algebraic geometry on the one hand, and stability theory on the other.
This will also be the subject of a more extended class at IHP next semester. Notes

14h15 : Florian Pop (U. Pennsylvania / MPI), The p-adic analog of Artin-Schreier Theorem - revisited (II)
A famous Theorem by Artin and Schreier characterizes the real closed fields as being those fields which have a finite non-trivial absolute Galois group. Instances of p-adic analogs of this Theorem are known (Neukirch, Pop, Koenigsmann, Efrat), but there is much more to this story. Namely I will give a “minimalistic” p-adic analog, which as in the Artin-Schreier Theorem, invoves only finite groups. This aspect of the story relates to the birational p-adic section conjecture, etc.

16h : Yasuda Takehiko (Osaka U. / IHES), Counting points vs. counting extensions.
In this talk, I will explain how to relate the two counting problems in the title by generalizing the McKay correspondence to number-theoretic base fields, that is, local fields and number fields. Over local fields, generalizing the McKay correspondence by Batyrev and Denef-Loeser, one can relate stringy invariants of quotient varieties to mass formulas of extensions of local fields. Over number fields, using the local result and a heuristic argument, one can (less tightly than in the local case) relate Manin's conjecture on rational points of Fano varieties to Malle's conjecture on extensions of number fields.


Vendredi 4 décembre, à l'ENS, salle W. Programme :

11h : Jérôme Poineau (Caen), Cohomologie des disques de Berkovich sur Z
Bien que les espaces de Berkovich apparaissent souvent dans un contexte ultramétrique, leur définition la plus générale s'applique en réalité en prenant pour base un anneau de Banach arbitraire, par exemple Z muni de la valeur absolue usuelle. Dans ce dernier cas, les espaces obtenus se présentent naturellement comme des fibrations contenant à la fois des fibres complexes et p-adiques, pour tout nombre premier p. Nous rappellerons les propriétés connues de ces espaces puis esquisserons la démonstration du fait que la cohomologie cohérente des disques de dimension arbitraire sur Z s'annule. Nous expliquerons que ce résultat entraîne un analogue global du théorème classique d'acyclicité de Tate. Il permet également d'obtenir des résultats de noethérianité pour des anneaux de séries convergentes à coefficients entiers.

14h15 : Charlotte Hardouin (Toulouse), Généricité différentielle des fonctions spéciales et théories de Galois à paramètres
En théorie de la transcendance, on cherche à cerner les relations algébriques entre des nombres. Un problème plus simple consiste à se poser la même question sur les fonctions qui s'évaluent en ces nombres en espérant des théorèmes de transfert. D'après des résultats de Nishioka et Philippon, c'est le cas des fonctions de Mahler, qui satisfont des équations fonctionnelles discrètes en un opérateur de type Frobenius. En effet, les relations algébriques entre les valeurs de ces fonctions en des points algébriques se relèvent en des relations entre les fonctions elles-mêmes. La classe des fonctions de Mahler est stable par dérivation. On peut ainsi se poser la question de la dépendance algébrique entre une fonction de Mahler et ses dérivées. Depuis quelques années, des théories de Galois à paramètres (Cassidy-Singer, H.-Singer ) ont fourni un cadre formel et systématique pour attaquer ces questions de dépendances différentielles algébriques fonctionnelles. Nous essaierons dans cet exposé d'introduire ces théories dans les grandes lignes. Nous conclurons en montrant comment elles permettent de déterminer non seulement l'existence mais aussi la forme des relations différentielles algébriques satisfaites par les fonctions de Mahler et en particulier par les séries génératrices de suites p-automatiques de rang 2. Ces derniers résultats sont issus d'une collaboration avec T. Dreyfus (Institut Camille Jordan, Lyon) et J. Roques (Institut Fourier, Grenoble)

16h : Rizos Sklinos (Lyon I), Corps définissables dans le groupe libre
La théorie du groupe libre est stable, donc elle admet une “bonne” notion d'indépendance (comme l'indépendance algébrique dans un corps algébriquement clos). Cette notion est appelée déviation et on peut calculer sa complexité au sens de l'ampleur. La déviation est la plus simple dans une espace vectoriel et la plus complexe dans un corps algébriquement clos. Dans la théorie du groupe libre la déviation est la plus complexe, mais il a été conjecturé qu'aucun corps infini n'est définissable dans un groupe libre. Nous allons exposer une preuve de cette conjecture. C'est un travail en commun avec Ayala Byron.


Vendredi 15 janvier, à l'ENS, Salle W. Programme :

11h : Itaï Ben Yaacov (Lyon I), La définissabilité des types, par l'analyse fonctionnelle.
Comme demandé par les organisateurs, je parlerai des liens entre la stabilité en théorie des modèles et certains résultats d'analyse fonctionnelle, notamment la caractérisation par Grothendieck des ensembles faiblement précompacts dans C(X).
En effet, nous retrouvons dans le critère de Grothendieck la définition de formule stable, (re)donnée 20 ans plus tard par Shelah, et pouvons en déduire le théorème de Shelah sur la définissabilité des types dans une théorie stable, ainsi que la forme de la formule définissante.

14h15 : Farhad Babaee (ENS), On approximability of extremal tropical currents
I will briefly explain complex tropical currents, and will address their extremality, intersection theory, and approximation problems. I will discuss how in joint work with June Huh, we constructed an example of a non-approximable tropical current, which, in turn, refutes a strong version of the Hodge conjecture for positive currents.

16h : Sébastien Boucksom (IMJ), Dégénérescences de variétés de Calabi-Yau et géométrie non-archimédienne.
Je vais présenter un travail en commun avec Mattias Jonsson, dans lequel nous utilisons une variante d'une construction de Berkovich pour étudier la convergence au sens de la théorie de la mesure d'une famille de variétés de Calabi-Yau vers son “squelette essentiel” au sens de Kontsevich et Soibelman.


Vendredi 5 février, à l'ENS, Salle W. Programme :

11h : Martin Bays (Münster), Pseudo-exponential maps of algebraic groups
Zilber conjectured that the complex exponential field (C ; + , * , e^x) is quasiminimal - any definable subset is countable or has countable complement. In part as an approach to proving this, Zilber showed how to construct a quasiminimal exponential field (“pseudo-exponentiation”) which is isomorphic to the complex exponential field if Schanuel's conjecture and a certain “existential closedness” conjecture are true.
I will talk on some recent work with Jonathan Kirby exploring variants of this construction. We generalise Zilber's results to exponential maps of other (commutative) algebraic groups, and some related maps, and moreover we show that performing a “generic” form of the construction allows one to prove quasi-minimality assuming only a substantially weakened form of the existential closedness conjecture, eliminating Schanuel's conjecture entirely.

14h15 : Thomas Blossier (Lyon I), Corps et géométries relatives
Tout groupe constructible est algébrique (Weil - Van den Dries - Hrushovski). Pillay en 1997, puis Kowalski et Pillay en 2001, ont montré que la composante connexe de tout groupe constructible dans un corps différentiellement clos ou dans un corps avec un automorphisme générique, se plonge (à noyau fini près dans le second cas) dans un groupe algébrique. Ces démonstrations consistent à obtenir une configuration de groupe dans le pur corps algébriquement clos à partir de celle dans le corps enrichi. Pour les groupes définissables dans les corps colorés, corps algébriquement clos enrichi avec un prédicat pour un sous-groupe additif ou multiplicatif infini propre, le passage à des relations purement algébriques s'avère plus complexe dans le cas collapsé. Dans un travail commun avec Amador Martin-Pizarro et Frank Wagner, nous avons isolé des propriétés géométriques relatives à la structure de pur corps afin d'entamer une étude des groupes dans un corps enrichi. Ces propriétés nous ont en particulier permis de montrer que tout groupe simple définissable dans un corps coloré est définissablement isomorphe à un groupe algébrique.
Dans cet exposé, je présenterai les outils et propriétés utilisées pour construire un groupe algébrique à partir d'un groupe définissable dans un corps enrichi. J'introduirai ensuite des notions de géométries relatives permettant de faire un lien entre le groupe donné et le groupe algébrique construit. J'expliciterai en particulier comment on retrouve ainsi les résultats de Pillay et de Kowalski-Pillay. Dans un prochain exposé (GTM du 18 mars), Amador Martin-Pizarro présentera d'autres applications.

16h : Goulwen Fichou (Rennes), Fibres de Milnor réelles et séries de Puiseux.
Je parlerai d'une description des fibres de Milnor d'une fonction polynomiale réelle qui passe par l'étude d'un ensemble de séries de Puiseux. On calcule l'homologie semialgébrique de cet ensemble, que l'on compare avec les fibres de Milnor topologiques.
Il s'agit d'un travail en commun avec Masahiro Shiota, de Nagoya.


Vendredi 18 mars, ENS, salle W. Orateurs :

11h : Serge Cantat (Rennes I), Actions de SL(n,Z) par transformations birationnelles
On se donne un groupe de type fini G, et l'on se demande si G peut agir fidèlement par transformations birationnelles sur une variété algébrique de dimension d. Par exemple, si G est le groupe SL(n,Z) des matrices à coefficients entiers de déterminant 1, le groupe G agit sur l'espace affine de dimension n et sur l'espace projectif de dimension n-1. Mais agit-il en dimension inférieure ? Je décrirai des résultats obtenus avec Junyi Xie : en mêlant des techniques de dynamique p-adique et de géométrie des groupes,nous pouvons répondre à ce type de questions pour certains groupes de type fini (par exemple pour SL(n,Z)).

14h15 : Amador Martin-Pizarro (Lyon I), Groupes et corps colorés
Le rang de Morley est une dimension combinatoire à valeurs ordinales sur la collection des ensembles définissables d'une théorie complète, qui coïncide avec la dimension de Zariski pour la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique fixée.
Le théorème d'interprétation du corps de Zilber permet de retrouver de façon définissable un corps algébriquement clos à partir d'un groupe abélien agissant par permutations sur un groupe abélien, le tout de rang de Morley fini. Or, une certaine configuration “interdite” risque d'apparaître, ce que l'on appelle un mauvais corps : un corps algébriquement clos de rang de Morley fini muni d'un sous-groupe multiplicatif propre définissable et divisible. En caractéristique positive, un tel objet n'existe probablement pas. En caractéristique nulle, un mauvais corps de rang de Morley 2 fut construit, à partir du corps verts de Poizat par une technique d'amalgamation et collapse, introduite par Hrushovski.
Nous allons continuer l'étude des groupes définissables dans certaines expansions de corps algébriquement clos, présentée dans l'exposé de Thomas Blossier lors de la séance précédente, pour considérer les groupes définissables à l'intérieur du mauvais corps vert. En particulier, on montrera que tout groupe définissable simple non-abélien est algébrique. Pour cela, une notion d'ampleur relative au corps algébriquement clos sous-jacent jouera un rôle fondamental.

16h : Jean-Philippe Rolin (Dijon), Etude dynamique de certaines transséries
Des résultats classiques montrent comment, étant donné un système dynamique holomorphe, en déterminer une forme normale ou le plonger dans le flot d'un champ de vecteurs. Nous montrons comment étendre la version formelle de ces résultats à certaines transséries, et donnons quelques motivations en lien avec l'analyse fractale.



Vendredi 8 avril, salle W à l'ENS. Orateurs :

11h : Junyi Xie (Toulouse), La conjecture de Manin-Mumford dynamique pour les relevés du Frobenius.
La conjecture de Manin-Mumford dynamique est un analogue dynamique de la conjecture de Manin-Mumford. Dans cet exposé, on démontre une version de cette conjecture pour les endomorphismes d'espaces projectifs sur un corps p-adique dont la réduction modulo p est le Frobenius. Notre méthode est de transporter la dynamique p-adique à une dynamique sur un corps de caractéristique p par la théorie des espaces perfectoïdes de Peter Scholze.

14h15 : Nadja Hempel (Lyon I), Enveloppes définissables de sous groupe abélien, nilpotent ou résoluble
Étant donné un groupe G, un problème particulier qui nous intéresse est de trouver des enveloppes définissables de sous-groupes abéliens, nilpotents ou résolubles de G qui ayant les mêmes propriétés algébriques.
Au cours des dernières décennies, il y a eu des progrès remarquables pour répondre a cette question pour des groupes qui satisfont certaines propriétés modèle-théoriques (théorie stable, dépendante, simple, etc.), ainsi que pour des groupes dont les centralisateurs satisfont certaines conditions de chaîne sur des centralisateur.
Je présente ces résultats et donne des applications.

16h : Jean-Benoît Bost (Orsay), Réseaux euclidiens de rang fini et infini, séries thêta et formalisme thermodynamique
Un réseau euclidien est la donnée (E, | . |) d'un ℤ-module E isomorphe à ℤ^r, r in ℕ, et d'une norme euclidienne | . | sur le ℝ-espace vectoriel E_ℝ ≅ ℝ^r qui lui est associé.
En géométrie arithmétique, il s'avère naturel d'associer à un réseau euclidien un invariant dans ℝ_+ défini au moyen d'une série thêta par la formule:
h^0_θ(E, | . |) := log sum_{v in E} e^{-π|v|^2}.
Dans cet exposé, je discuterai diverses propriétés, classiques et moins classiques, de cet invariant h^0_θ. Notamment, j'expliquerai comment certaines de ses propriétés se rattachent à la théorie des grandes déviations et au formalisme thermodynamique.
Je présenterai aussi des généralisations de l'invariant h^0_θ attachées à des avatars de rang infini des réseaux euclidiens.


Vendredi 13 mai 2016. Orateurs :

11h : Vincenzo Mantova (Leeds), Non-standard fewnomials
Call non-standard fewnomial (or sparse/lacunary polynomial) a non-standard polynomial whose number of non-zero terms is finite. The non-standard translation of a conjecture of Rényi and Erdöt;s, proved by Schinzel and then improved by Zannier, says that if the square of a non-standard polynomial is a fewnomial, then the polynomial itself is a fewnomial. With C. Fuchs and Zannier, we proved the more general statement that the ring of fewnomials is integrally closed in the ring of non-standard polynomials. This can be used to show certain properties of covers of multiplicative groups, such as a kind of Bertini irreducibility theorem. I will discuss both standard and non-standard formulations of the theorem, some of the applications, and give a sketch of a new non-standard proof.

14h15 : Katrin Tent (Münster), Profinite NIP groups
We consider profinite groups as 2-sorted first order structures, with a group sort, and a second sort which acts as an index set for a uniformly definable basis of neighbourhoods of the identity. It is shown that if the basis consists of all open subgroups, then the first order theory of such a structure is NIP (that is, does not have the independence property) precisely if the group has a normal subgroup of finite index which is a direct product of finitely many compact p-adic analytic groups, for distinct primes p. In fact, the condition NIP can here be weakened to NTP2.
We also show that any NIP profinite group, presented as a 2-sorted structure, has an open prosoluble normal subgroup.
(Joint work with Dugald Macpherson)

16h : Michel Raibaut (Chambéry), Wave front sets of distributions in non-archimedean analysis.
In 1969, Sato and Hörmander introduced the notion of wave front set of a distribution in the real context. This concept gives a better understanding of operations on distributions such as product or pullback and it plays an important role in the theory of partial differential equations. In 1981, Howe introduced a notion of wave front set for some Lie group representations and in 1985, Heifetz gave an analogous version in the p-adic context. In this talk, in the t-adic context in characteristic zero, using Cluckers-Loeser motivic integration we will present analogous constructions of test functions, distributions and wave front sets. In particular, we will explain how definability can be used as a substitute for topological compactness of the sphere in the real and p-adic contexts to obtain finiteness.
This a joint work with R. Cluckers, and F. Loeser.


Programme des séances passées : 2006-07, 2007-08, 2008-09, 2009-10, 2010-11, 2011-12, 2012-13, 2013-14, 2014-15.
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