Géométrie et Théorie des Modèles

Année 2012 - 2013

11h : Jochen Koenigsmann (Oxford), Fields with the absolute Galois group of Q
We will show that fields whose absolute Galois group is isomorphic to that of the field Q of rational numbers share many arithmetic properties with Q. Assuming the birational Section Conjecture of Grothendieck's Anabelian Geometry over Q, we will give a complete classification of such fields.

14h : Anand Pillay (Leeds), On the algebraic independence of generic Painlevé transcendents.
(joint with R. Nagloo) We prove that if y_1,...,y_n are distinct solutions of a “generic” equation in one of the Painlevé classes P_II - P_V, then y_1, y_1',...,y_n,y_n' are algebraically independent over C(t). For generic P_VI we have a slighly weaker result: ω-categoricity (and strong minimality) of the solution set.
The proof combines the existing knowledge of the global structure of the Painlevé families (irreducibility, algebraic solutions) with the model theory of differentially closed fields.

16h : Yimu Yin (Paris 6), Motivic integration in positive characteristics.
I will first describe the general strategy of constructing Hrushovski-Kazhdan style motivic integration in algebraically closed valued fields. For the case of equal characteristics 0 the theory is very satisfactory and has found some far-reaching applications. But the other cases have not been worked out. I will describe some progress in this direction.

Jochen Koenigsmann and Anand Pillay are partially supported by the Marie Curie network MALOA (PITN-GA-2009-238381).

Vendredi 16 novembre, à l'IHP, salle 314. Orateurs :

11h : Salma Kuhlmann (Konstanz), Fields of power series, exponential value groups and models of arithmetic
Integer parts of ordered fields correspond to models of (fragments of) arithmetic. We will discuss their prime and irreducible elements. We will survey their valuation theoretic properties, describe their relation to distinguished embeddings into fields of power series and to towers of complements to the (fractional) ideals of the valuation ring. We will show that if the field admits an integer part which is a model of Peano Arithmetic, then its value group must be of a very specific kind (i.e. must be an exponential group).

14h : Laurent Moret-Bailly (Rennes I), Propriétés topologiques des torseurs et des espaces homogènes sur un corps valué
(Il s'agit d'un travail en cours et en commun avec Philippe Gille). Soit K le corps des fractions d'un anneau de valuation hensélien R de caractéristique p>0. Soient Y une K-variété, H un K-groupe algébrique et f:X-->Y un H-torseur au-dessus de Y. On considère, du point de vue de la topologie de la valuation, l'application continue induite X(K)-->Y(K). Si Z désigne son image, on étudie notamment les questions suivantes: (a) Est-ce que Z est localement fermé (resp. fermé) dans Y(K)? (b) Est-ce que la bijection continue X(K)/H(K) --> Z est un homéomorphisme? (b') Est-ce que X(K) est un H(K)-torseur (localement trivial) au-dessus de Z?
Lorsque R est un anneau de valuation discrète excellent, de corps résiduel k, on donne notamment des réponses positives à (a) et (b) dans les cas suivants:
(1) k est fini;
(2) X=G est un K-groupe algébrique contenant H, et Y=G/H; de plus k est dénombrable et de p-rang fini.
Pour le cas (1) on utilise un théorème de compactification équivariante de Gabber; pour (2), la clé est (une généralisation d')un théorème de constructibilité dû à Bernstein (et, semble-t-il, injustement méconnu). Lorsque K est un corps local, (2) est essentiellement dû à Bernstein et Zelevinsky (1976).

16h : Martin Hils (Paris 7), Théorie des modèles géométrique des corps valués avec automorphisme
(Travail en commun avec Artem Chernikov) Dans l'exposé, on rappellera d'abord des résultats importants sur les corps valués avec automorphisme, d'un point de vue algébrique et modèle-théorique. En particulier, on donnera une description, due à Hrushovski, de la théorie VFA du Frobenius non-standard agissant sur un corps valué algébriquement clos de caractéristique résiduelle 0, ainsi qu'un résultat de type Ax-Kochen-Ershov pour certains corps valués avec automorphisme montré par Durhan.
Ensuite, On présentera un travail récent, où est montré que VFA est NTP2 (n'a pas la propriété de l'arbre de seconde espèce); plus généralement, dans le contexte du principe d'Ax-Kochen-Ershov mentionné ci-dessus, le corps valué avec automorphsme est NTP2 si et seulement si le groupe des valeurs (avec l'automorphisme induit) ainsi que le corps résiduel (avec l'automorphisme induit) le sont. En vu des résultats récents de Chernikov, Kaplan et Ben Yaacov sur les théories NTP2, ceci peut être vu comme le début de la théorie des modèles géométrique dans VFA.

Vendredi 14 décembre, à l'IHP, salle 314.
Orateurs :

11h : Paola D'Aquino (Naples 2), On Shapiro's conjecture for exponential polynomials
In 1956 Shapiro conjectured that if two exponential polynomials have infinitely many common zeros then they have a common factor. I will discuss the relation between Schanuel's conjecture in transcendental number theory and Shapiro's conjecture, both for the complex field and for any algebraically closed field of characteristic 0 with exponentiation.

14h : Antoine Ducros (Paris 6), Espaces de Berkovich, polytopes et théorie des modèles
Soit X un espace analytique compact au sens de Berkovich, et soit (f_1,...f_n) une famille finie de fonctions inversibles sur X. Soit f : X ----> G_m^n le morphisme qu'elles induisent.
Rappelons deux résultats classiques, dont les preuves faisaient appel jusqu'ici aux altérations de de Jong.
1) l'image de X par (|f_1|,...,|f_n|) est un polytope de (R^*_+)^n (en notation multiplicative, ce qui veut dire que c'est un polytope classique après application de Log).
2) Soit S le squelette de G_m^n ; c'est un fermé naturel de G_m^n homéomorphe à (R^*_+)^n. Si X est de dimension n, l'image réciproque T:=^-1(S) a une structure linéaire par morceaux telle que la restriction de f induise une application linéaire par morceaux T ---> S.
Dans cet exposé, nous expliquerons comment des techniques de théorie des modèles permettent d'améliorer ces assertions et d'en donner de nouvelles preuves ne faisant plus appel aux altérations (pour 1), nous ne nous servirons que de l'élimination des quantificateurs ; pour 2), nous ferons appel à la définissabilité de certains espaces de types introduits par Hrushovski et Loeser).

16h : Immanuel Halupczok (Münster), Transfer of integrability and locus sets
The classical transfer principle of Ax-Kochen-Ershov allows to transfer first order statements between Q_p and F_p((t)) for big p. Motivic integration allows to transfer equalities of integral equations. I will present a transfer principle for conditions like L^1-integrability (of functions from the valued field into C). More precisely, in joint work with Cluckers and Gordon, we obtained a transfer principle for “locus sets”, which are a generalization of definable sets and which include sets defined by integrability conditions.
These results can be applied to the Harish-Chandra characters of representations of algebraic groups over local fields. These characters where known to be locally integrable over Q_p since the seventies. By the transfer, they are also locally integrable over F_p((t)), provided that p is big enough.

Vendredi 25 janvier (IHP, salle 314). Programme :

11h : Todor Tsankov (Paris 7), Representations of oligomorphic groups and generalizations of de Finetti's theorem.
A permutation group G acting on a countable set M is called oligomorphic if the action of G on M^n has only finitely many orbits for each n. Those groups are known to model-theorists as automorphism groups of omega-categorical structures. The main topic of the talk will be the classification of the representations of oligomorphic groups by unitary operators and by measure-preserving transformations. A typical example of the latter is the classical de Finetti theorem from probability theory which gives the description of all probability measures on 2^N invariant under the action of S_infty, the full permutation group of N. I am going to discuss certain versions of this theorem that apply in more general situations.

14h : Ludovic Marquis (Rennes I), Les groupes en géométrie de Hilbert: un panorama via les groupes de Coxeter.
La géométrie de Hilbert est l'étude des ouverts convexes bornés de R^n muni de la distance de Hilbert. La distance de Hilbert est définie en terme de birapport et donc invariante par les transformations projectives préservant l'ouvert convexe.
Je présenterai un panorama des géométries de Hilbert avec un point de vue privilégiant les groupes. Ensuite, je parlerai du problème de construire un ouvert convexe \Omega et un groupe \Gamma le préservant tel que le quotient soit compact ou de volume fini ou géométriquement fini. J'insisterai sur l'utilisation des groupes de Coxeter pour réussir de telle construction en petite dimension.

16h : Krzysztof Krupinski (Wroclaw), On model-theoretic connected components in some group extensions
Résumé.

Vendredi 22 février (IHP, salle 314). Programme :

11h : Itay Kaplan (Münster), Applications of combinatorial model theoretic properties to groups and fields
We will discuss how model theoretic properties such as NIP and NTP2 affect the behaviours of definable (or type definable) groups and fields.

14h : Jérôme Poineau (Strasbourg), Topologie et suites dans les espaces de Berkovich
Les espaces de Berkovich sont des espaces topologiques qui permettent de faire de la géométrie analytique sur un corps ultramétrique k de la même façon que sur le corps des nombres complexes C. Lorsque le corps de base k est assez petit (par exemple, Qp ou Cp), les espaces obtenus sont métrisables, mais cette propriété est fausse en général. Nous montrerons cependant que la topologie des espaces de Berkovich reste gouvernée par les suites. Notre preuve utilise de façon essentielle une technique d'extension des scalaires et nous nous intéresserons en particulier aux points qui peuvent se relever canoniquement à toute extension. Si le temps le permet, nous relierons cette propriété à la notion de type définissable dans la théorie des corps valués algébriquement clos, reprenant ainsi des travaux de E. Hrushovski et F. Loeser.

16h : Itaï Ben Yaacov (Lyon I), Quelques questions modèle-théoriques au sujet des corps globalement valués
[Travail en commun avec E Hrushovski]
Une propriété fondamentale des corps de nombres et des corps de fonctions (disons en une seule variable) est la formule du produit, comme elle est connue le plus souvent : pour tout x non nul, le produit de ses valeurs absolues |x|_p , lorsque p parcourt toutes les places, vaut un. Pour nous la formulation additive sera plus pratique : la somme des valuations v_p(x) = -log |x|_p est nulle. (Ceci entend naturellement une certaine normalisation des différentes valuations ou valeurs absolues, qui est unique à un facteur multiplicatif près). Je parlerai d'une formulation modèle-théorique de cette propriété, des questions que celle-ci soulève, et de quelques réponses.

Vendredi 22 mars (IHP, amphi Hermite). Programme :

11h : Eike Lau (Paderborn, Allemagne), Traverso's conjectures on truncations of p-divisible groups
(joint with Marc-Hubert Nicole and Adrian Vasiu) Let G be a p-divisible group over an algebraically closed field. For sufficiently large n, the truncation G[p^n] determines G up to isomorphism. The minimal value of n with this property is called the isomorphism number of G. We study properties of this invariant of G, in particular effective upper bounds, its behaviour in families, and the relation with other invariants of G.

14h15 : James Freitag (UC Berkeley, E-U), Model theory of partial differential fields
We will describe the model theory of partial differential fields, discussing various problems and recent developments. We will describe the current attempts to classify the differential algebraic groups which satisfy certain connectedness criteria (a program initiated by Cassidy and Singer), and generalizations of their work to the model-theoretic context.

16h : Rahim Moosa (U. Waterloo, Canada), Model theory and bimeromorphic geometry.
The last fifteen years have seen significant interaction between finite rank stability theory and the classification theory of compact Kaehler manifolds. Interestingly, there has been some influence in both directions. This talk will be an overview of the subject, focusing on recent developments.

Vendredi 19 avril (IHP, salle 314). Orateurs :

11h : Florent Martin (Paris 6), Ensembles sous-analytiques surconvergents dans les espaces de Berkovich
Si X est un espace k-affinoïde (k étant un corps non-archimédien), un sous-ensemble S de X est dit sous-analytique surconvergent si on peut “essentiellement” l'écrire S=f(Y) où f est un morphisme surconvergent d'espaces affinoïdes.
Nous expliquerons d'abord comment décrire ces ensembles en n'utilisant que des fonctions de X, i.e. sans avoir recours à une projection. Il s'agit d'une version géométrique d'un résultat de H. Schoutens qui utilise l'élimination des quantificateurs dans ACVF.
Nous montrerons ensuite que les ensembles sous-analytiques surconvergents peuvent être définis localement pour la topologie de Berkovich, mais pas pour la G-topologie.

14h15 : Luca Prelli (Lisbonne), Sheaves on subanalytic sites
Sheaf theory is not well suited to study objects which are not defined by local properties. It is the case, for example, of functional spaces with growth conditions, as tempered distributions. Since the study of the solutions of a system of PDE in these spaces is of great importance (solutions of irregular D-modules, Laplace transform, etc.), many ways have been explored by the specialists to overcome this problem. For this purpose Kashiwara and Schapira introduced the subanalytic site and proved that some of these spaces can be realized as sheaves on a subanalytic site. In this talk we will recall the theory of subanalytic sheaves and give an overview of some recent developments and applications.
Transparents.

16h : Deirdre Haskell (Mc Master), Imaginaries in valued fields
It is now well-known what sorts have to be added to a valued field in order to achieve elimination of imaginaries. It is also known that these sorts do not suffice to eliminate imaginaries when the field is enhanced by restricted analytic functions, despite the fact that the theories still have quantifier elimination. In this talk, I will attempt to convey the intuition about the definable sets in a valued field that underlies all of these results (while explaining the model-theoretic terminology in the above).

Vendredi 21 juin (IHP, salle 314). Programme :

11h : Mattias Jonsson (Michigan), Positivity of line bundles on varieties defined over non-Archimedean fields
For algebraic varieties defined over the complex numbers, one can study geometry using both algebraic and analytic methods. Over a non-Archimedean field, one can try to do the same thing using Berkovich spaces. I will discuss positivity notions for metrics on line bundles on varieties defined over discretely or trivially valued fields.

14h15 : Anand Pillay (Leeds) NIP, amenability, and dynamics
I will discuss problems around definably amenable groups in NIP theories, informed by some invariants coming from topological dynamics.

16h : Tamara Servi (CMAF Lisbonne), Newton-Puiseux Theorem for convergent generalised power series
A generalised power series (in several variables) is a series with real nonnegative exponents whose support is contained in a cartesian product of well-ordered subsets of the real line. Let A be the collection of all convergent generalised power series. I will show that, if f(x_1,...,x_n,y) is in A, then the solutions y=g(x_1,...,x_n) of the equation f=0 can be expressed as terms of the language which has a symbol for every function in A and a symbol for division. The construction of the terms is rather explicit. If instead of solving just one equation one wants to solve a system of equations, then one needs a different argument and the proof I will exhibit is a lot less constructive.

Programme des séances passées : 2006-07, 2007-08, 2008-09, 2009-10, 2010-11, 2011-12.
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