Géométrie et Théorie des Modèles

Année 2006 - 2007


Organisateurs : Zoé Chatzidakis et François Loeser.
Pour recevoir le programme par e-mail, écrivez à : Francois.Loeser_at_ens.fr.
Pour les personnes ne connaissant pas du tout de théorie des modèles, des notes introduisant les notions de base (formules, ensembles définissables, théorème de compacité, etc.) sont disponibles ici. Elles peuvent aussi consulter les premiers chapitres du livre Model Theory and Algebraic Geometry, E. Bouscaren ed., Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1696, Berlin 1998.

Vendredi 13 octobre 2006, à l'ENS, Amphithéâtre Rataud

Programme

11h - 12h30 : A.J. Wilkie (Oxford) : Adding a multiplicative group to a polynomially bounded structure (Notes de l'exposé)
In 1985, Van den Dries showed that adding a predicate for the powers of two to the ordered field of reals does not much damage: one can prove a quantifier elimination result, and the theory has a natural axiomatization. In this talk I shall show that the real field can be replaced by any polynomially bounded, o-minimal structure with no irrational exponents. (As far as the model-theoretic prerequisites go, I shall assume that the audience is familiar with the material in Chatzidakis' "Notes for Luminy", but will endeavour to explain everything else.) I shall then present some applications concerning the "tameness" of certain natural expansions of the complex field.

14h - 15h30 : Jan Denef (Leuven) : Structure of the p-adic orbits of linear algebraic groups.
This is about joint work with Cluckers. Using the model theory of valued fields and Galois cohomology we obtained a uniform description of the p-adic orbits of any homogeneous algebraic variety (defined over a number field) under the action of a linear algebraic group. I will also outline an application to Igusa's orbital zeta functions.

16h - 17h30 : Ana Reguera (Valladolid) : Propriétés de finitude de l'espace des arcs. Résumé

Vendredi 24 novembre 2006, à l'Institut Henri Poincaré (amphithéâtre Darboux).

Programme

11h - 12h30 : Raf Cluckers (ENS) A unifying and generalizing notion of tame geometries in model theory: b-minimality
As van den Dries notes in his book on o-minimality, Grothendieck's dream of tame geometries found certain realizations in model theory. We present a new variant on notions of tame geometries, generalizing o-minimality, p-minimaliy, and other notions. It is suited for Henselian valued fields as well as real closed fields. In fact, the only ingredients are a notion of balls and points, some auxiliary sorts, and some axioms using these notions. There is a plentitude of examples and there are promising expansions by nontrivial entire analytic functions, cf the recent work by Wilkie on oscillating functions. There is a dimension theory and cell decomposition, and Euler characteristics of the main sort can be studied, relative to the auxiliary sorts. Henselian valued fields of char 0 are b-minimal in a natural language, but in characteristic p they are not: some expansion is needed but yet unknown. This is joint work with F. Loeser.

14h - 15h30 : David Bourqui (Rennes I) Produit eulérien motivique et courbes rationnelles sur les variétés toriques
Les conjectures de Manin sur la répartition des points rationnels de hauteur bornée admettent une généralisation naturelle à un cadre géométrique : étant donnés une courbe C et une variété V, le but est d'étudier le comportement asymptotique de l'espace de modules des morphismes de C vers V de degré donné, quand le degré devient grand. Nous traitons ce problème dans le cas où C est rationnelle et V torique, à l'aide d'une série génératrice de type motivique. Un des points importants de l'étude de cette série est l'utilisation d'une notion de produit eulérien motivique, notion basée sur la construction de Denef et Loeser permettant d'associer un motif virtuel à une formule logique du premier ordre dans le langage des anneaux.

16h - 17h30 : Itaï Ben Yaacov (Lyon I) Théorie des modèles des espaces de Nakano
Les espaces de Nakano forment une généralisation des espaces $L_p$, où l'exposant $p$ peut varier. Pedro Pointevin a étudié ces espaces dans sa thèse (UIUC, 2006, sous la direction de Ward HENSON), démontrant quelques propriétés modèle-théoriques dans le cadre de la logique du premier ordre continue.
Je discuterai de ces résultats, ainsi que de la solution de certaines questions laissées ouvertes par Poitevin et de leur traduction en termes d'analyse fonctionnelle.

Vendredi 15 décembre 2006, à l'Ecole Normale Supérieure (Amphithéâtre Rataud).

Programme

11h - 12h30 : Anand Pillay (Leeds) : Model theory and Kähler geometry
The talk will draw on a recent paper (with an expository character) by Rahim Moosa and myself. A key issue is the "nonmultidimensionality" conjecture:
(*) If T is the theory of the many-sorted structure C of compact complex spaces of Kahler-type, and p is a stationary type of U-rank 1 then p is nonorthogonal to \emptyset.
There is a translation of (*) into the language of fibrations in C. We discuss Campana's recent work (2005) which confirms the conjecture in certain important cases. We also point out that this yields the truth of (*) when p is of "dimension" 2, namely when p is the generic type of a compact complex surface.

14h - 15h30 : Katrin Tent (Bielefeld) On polygons, trees, and CAT(1)-apaces
I will define generalized n-gons (these are Tits-buildings of rank 2) and explain their relevance in the classification of groups. Model theory provides tools for constructing (counter-) examples to some conjectures around these structures. In particular, I will explain how to construct certain generalized n-gons for all n>2 as a Fraïssé limit. One can then consider an ultraproduct of these n-gons, which again provides more examples of related structures.

16h - 17h30 : Johannes Nicaise (Lille I) Rigid geometry and motivic zeta functions (résumé).

Vendredi 12 janvier 2007 (ENS, Amphithéâtre Rataud). Orateurs prévus :

11h - 12h 30 : Lou van den Dries (Illinois-Urbana) On isomorphism of complete local rings
About a year ago Angus Macintyre raised the following question. Let A and B be complete local noetherian rings with maximal ideals M and N such that A/M^n is isomorphic to B/N^n for every n. Does it follow that A and B are isomorphic? I show that the answer is yes if the residue field is algebraic over its prime field. The proof uses a strong approximation theorem of Pfister and Popescu, or rather a variant of it which I obtain by a method of Denef and Lipshitz.

14h - 15h30 : Antoine Ducros (Nice) Parties semi-algébriques d'une variété semi-algébrique p-adique.
Si X est une variété algébrique affine sur un corps ultramétrique complet k, nous définissons la notion de partie semi-algébrique de Xan, où Xan est l'analytifiée /à la Berkovich/ de X ; nous montrons que l'image d'une telle partie par une application polynomiale est encore semi-algébrique, et que les composantes connexes d'une partie semi-algébrique sont en nombre fini, et elles-mêmes semi-algébriques.
Si X est un espace analytique compact (e.g. un polydisque fermé) la notion de partie semi-algébrique de X a encore un sens, et l'assertion sur les composantes connexes reste valable. Qu'en est-il de l'image d'une telle partie par une application analytique ? Nous dirons quelques mots des problèmes rencontrés lorsqu'on tente de répondre à cette question.

16h - 17h30 : David Marker (Illinois-Chicago) EXPOSE ANNULE

Vendredi 9 mars 2007 (ENS, Amphithéâtre Rataud) : Journée autour de la Conjecture d'Intersection des Tores. Orateurs prévus :

  • 11h : Boris Zilber (Oxford) Schanuel-type conjectures, Model Theory and Diophantine Geometry. Notes de l'exposé
    Model Theory has developed certain 'geometric' classification principles and tools which quite substantially complement the usual geometric picture. In particular, Schanuel's conjecture and a series of similar statements fit into the geometry in a nice way. Moreover, analysing the model theory around Schanuel's conjecture one can see clear connections to a number of diophantine phenomena, established and conjectural.
  • 14h : David Masser (Bâle) Conjectures on intersections - some recent advances
    In 2002 Boris Zilber published his conjectures on unexpectedly large intersections of algebraic varieties with commutative algebraic groups. In this talk we will confine ourselves mainly to the multiplicative situation. Already some results of Michel Laurent from 1984 cover the case of varieties of codimension 1, and some work of Enrico Bombieri, Umberto Zannier and the speaker from 1999 does the same for a large class of curves. We will describe some more recent progress for codimension 2, for curves, and for surfaces.
  • 16h : Emmanuel Ullmo (Orsay) Points entiers, points rationnels et points spéciaux des variétés de Shimura (mixtes)
    Nous présenterons de nombreuses conjectures et quelques résultats sur la géométrie diophantienne des variétés de Shimura. Dans une première partie nous discuterons des propriétés des points entiers et rationnels d'une variété de Shimura pure (en niveau sans point fixe) en relation avec l'hyperbolicité et une conjecture de Lang. Nous regarderons ensuite des propriétés liées aux points spéciaux et aux sous-variétés spéciales (conjecture d'André-Oort, propriétés des points rationnels en niveau arbitraire..) Nous présenterons en particulier des conjectures de Pink pour les variétés de Shimura mixtes qui généralisent les conjectures d'André-Oort, Manin-Mumford et Mordell-Lang.

    • Vendredi 30 mars 2007 (ENS, Amphithéâtre Rataud). Programme :

  • 11h : Jean-Philippe Rolin (U. de Bourgogne) : From Dulac's problem to o-minimality.
    The celebrated Dulac's conjecture is one of the most famous finiteness problems occurring in the field of analytic differential equations.
    The possible definability in an o-minimal expansion of the real field of the functions appearing in this problem is a widely open question. Nevertheless, we show in this talk that, under some conditions, this question admits a positive answer. We review in the same time several methods used to prove o-minimality.
  • 14h : Elisabeth Bouscaren (Orsay) : Groupes définissables dans les corps avec opérateurs.
    Les premières applications de la théorie des modèles à la géométrie Diophantienne reposent sur l'étude des groupes définissables dans différentes théories de corps avec opérateurs (corps avec un automorphisme, corps différentiels). On ne reviendra pas dans cet exposé sur ces applications mais on expliquera le type de résultats qu'on peut obtenir sur la structure de tels groupes ainsi que le type de questions qui se posent. On présentera plus en détail le cas des groupes définissables dans les corps séparablement clos non parfaits. On terminera, pour illustrer la spécifité du point de vue "théorie des modèles", par la question de la caractérisation des groupes dits "définissablement simples", qui se ramène à l'étude des groupes affines sur L, corps séparablement clos non parfait, tels que G(L), le groupe des points L-rationnels de G, n'a aucun sous groupe normal définissable propre non trivial. On montrera comment exprimer cette condition de manière purement algébrique, et on expliquera comment on rejoint ainsi la question, abordée par Tits dans ses cours du Collège de France (91-92 et 92-93), de la "classification" des groupes pseudo-réductifs (ou L-réductifs).
  • 16h : Antoine Chambert-Loir (Rennes 1) : Espaces de Berkovich et géométrie d'Arakelov : théorèmes d'équidistribution.
    Je présenterai les théorèmes d'équidistribution des orbites galoisiennes de points « de petite hauteur » qui ont été démontrés récemment par des techniques de géométrie d'Arakelov. On verra que l'équidistribution pour la topologie p-adique requiert l'introduction des espaces analytiques de Berkovich qui permettent une théorie des fibrés en droites métrisés assez satisfaisante ; il y a par exemple un analogue de la formule de Mahler pour la hauteur locale d'une hypersurface de l'espace projectif. La démonstration de cet analogue intervient d'ailleurs lorsqu'il s'agit d'établir des raffinements des théorèmes d'équidistribution faisant intervenir des fonctions-test à singularités logarithmiques.

    • Vendredi 11 mai 2007 (Chevaleret, salle 0C2, rez-de-chaussée). Cette rencontre est partiellement financée par le réseau européen Marie Curie MODNET (MRTN-CT-2004-512234).

  • 11h - 12h30 : David Marker (U. Oxford/UI Chicago) Model Theory and Complex Exponentiation
    Although the integers are definable in the complex field with exponentiation, there is some hope for an interesting model theory. I will discuss an abstract approach to complex exponentiation due to Zilber and some partial results in this program.
  • 14h - 15h30 : Amaury Thuillier (Lyon I) : Une application de la théorie de Berkovich : le type d'homotopie d'une résolution des singularités.
    En utilisant le point de vue introduit par Berkovich en géométrie analytique non archimédienne, j'expliquerai comment certains espaces de valuations permettent de rendre compte de phénomènes combinatoires rencontrés en géométrie algébrique. Je présenterai ensuite une démonstration élémentaire du résultat suivant : étant donnés un schéma X algébrique sur un corps parfait k et une log-résolution (X', D) des singularités de X, le type d'homotopie du complexe simplicial associé au diviseur à croisements normaux D est indépendant du choix de la résolution.
  • 16h - 17h30 : Florian Pop (Renyi Inst./U. Pennsylvania) The p-adic analog of Artin-Schreier Theorem - revisited
    A famous Theorem by Artin and Schreier characterizes the real closed fields as being those fields which have a finite non-trivial absolute Galois group. Instances of p-adic analogs of this Theorem are known (Neukirch, Pop, Koenigsmann, Efrat), but there is much more to this story. In particular, it relates to Grothendieck's section conjecture over the p-adics, which is in the center of a lot of research activity in recent time.